Mathe BK2

Mathe elementare Grundlagen

Ausklammern

Sind in einer Summe in jedem Summanden gleiche Faktoren, so kann man diese ausklammern.
Bsp.: In dem Term
$a\cdot b\cdot c+ 2\cdot a\cdot b + 4\cdot a\cdot c$ ist in jedem Summand den Faktor $2a$, also kann er geschrieben werden als
$2a(b\cdot c + b+2c)$

Ausklammern ist vor allem beim Lösen von Gleichungen wichtig.
Mit ausklammern und dem Satz vom Nullprodukt kann man Gleichungen schnell vereinfachen.

Beispiele:

$x^2-x = 0$ $\mid\ x$ ausklammern
$x(x-1)=0$
Somit ist $x_1=0$ oder $x-1=0 \Rightarrow x_2=1$
$4x^4-16x^2 = 0$ $\mid\ x^2$ ausklammern
$x^2(4x^2-16) = 0$
Also $x^2=0$ oder $4x^2-16=0\Rightarrow x=\pm\sqrt{4}$
$x_1=0$ oder $x_{2,3}=\pm 2$
$e^{2x}-e^x = 0$ $\mid\ e^x$ ausklammern da $e^{2x} = (e^x)^2$
$e^x(e^x-1) = 0$
Also $e^x = 0$ (keine Lösung) oder $e^x-1=0\Rightarrow e^x=1$
somit ist $x=\ln(1)=0$

Ausmultiplizieren

Ausmultiplizieren ist das Gegenteil zum ausklammern. Diese Umformung brauch man z.b. um Terme in Normalform zu bringen. Denn z.B. die Mitternachtsformel kann nur angewendet werden wenn die quadratische Gleichung vollständig Ausmultipliziert ist.

Wird eine Klammer mit einer Zahl multipliziert, dann wird jeder Summand in der Klammer mit der Zahl multipliziert.
Wird eine Klammer mit einer zweiten Klammer multipliziert, dann wird jeder Summand der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer multipliziert.

Beispiele:

$2(x^2-x+1) $
$2x^2-2x+2 $
$(x+1)(x^2-a)$
$x\cdot x^2+ x\cdot (-a) +1\cdot x^2+ 1\cdot (-a)$
$x^3-ax +x^2 -a = x^3+x^2 -ax -a$
$(2x+1)(e^{2x}-e^x)$
$2xe^{2x} -2xe^x +1e^{2x} -1e^x $
$2xe^{2x} -2xe^x +e^{2x} -e^x $

binomische Formeln

Die drei Binomischen Formeln zu kennen macht einem im Rechnen schneller und sicherer.
Natürlich kann man Terme wie $(a+b)^2$ auch durch ausmultiplizieren umformen, denn $(a+b)^2=(a+b)\cdot (a+b)$.

Binomische Formel: $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$
Binomische Formel: $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$
Binomische Formel: $(a+b)(a-b) = a^2 -b^2$

Anwenungsbeispiele:

$(x-1)^2+3 = 0$
$x^2-2x+1+3 = 0$ (jetzt geht die Mitternachtsformel)
Wird eine Funktion in Produktform gegeben mit $f(x)=4(x-2)(x+2)$ so kann man die Nullstellen schnell ablesen: $x_1=2$ und $x_2=-2$
Will man jetzt aber die Fläche berechnen, die die Funktion mit der $x$-Achse einschließt, so hat man ein Problem, denn $\int 4(x-2)(x+2)\;dx$ kann man nicht so einfach aufleiten.
Daher muss man ausmultiplizieren und mit der binomischen Formel ist man schnell fertig:
$4(x-2)(x+2) = 4(x^2-4) = 4x^2-16$
Auch ableiten von Funktionen in Produktform ist schwierig:
$f(x)=2(x+1)^2(x-2)^2$ hat eine doppelte Nullstelle bei $x_1=-1$ und eine doppelte bei $x_2=2$
aber die Ableitung von $f'(x)$ wird leichter bestimmt, wenn der Funktions-Term Ausmultipliziert ist:
1. und 2. binomische Formel anwenden: $f(x)=2(x^2+2x+1)(x^2-4x+4)$
jetzt noch die Klammern ausmultiplizieren: $f(x)=2(x^4-4x^3+4x^2 +2x^3-8x^2+8x +1x^2-4x+4 )$
und zusammenfassen: $f(x)=2(x^4 -6x^3 -3x^2 +4x +4 )$
evtl. die 2 reinmultiplizieren: $f(x)=2x^4 -12x^3 -6x^2 +8x +8 $

Brüche

Grundrechenarten
- B0: $a=\dfrac a 1$
- B1: $\dfrac a b = \dfrac{ac}{bc}$
- B2: $\dfrac a b\cdot \dfrac c d = \dfrac{ac}{bd}$
- B3: $\dfrac a b : \dfrac c d = \dfrac a b\cdot \dfrac d c = \dfrac{ad}{bc}$
- B4: $\dfrac a b + \dfrac c d = \dfrac{ad}{bd} + \dfrac{cb}{bd} = \dfrac{ad+cb}{bd}$
- B5: $\dfrac a b - \dfrac c d = \dfrac{ad}{bd} - \dfrac{cb}{bd} = \dfrac{ad-cb}{bd}$

Übungen: Brüche kürzen

Übungen: Brüche multiplizieren

Übungen: Brüche teilen

Übungen: Brüche addieren

Übungen: Brüche subtrahieren

Potzenzen

Potenzgesetze mit ganzzahligen Exponenten

P0: $\stackrel{n-mal}{\overbrace{a\cdot a\cdot a\cdots a}} = a^n$
P1: $a^n a^m=a^{n+m}$
P2: $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$
P3: $a^n b^n = (ab)^n$
P4: $\left(a^n\right)^m=a^{n\cdot m}$
P5: $a^0=1$

Für einen Bruch gilt: $\dfrac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$, da ja $\frac{a^n}{a^m}=a^n\cdot a^{-m} = a^{n-m}$ gilt.
Und für $\dfrac{a^n}{b^n} = \left(\dfrac{a}{b}\right)^n$, dies kann mit den Regeln wie folgt hergeleitet werden: $\frac{a^n}{b^n}=a^n\cdot b^{-n} = a^n\cdot \left(b^{-1}\right)^n = \left(a\cdot b^{-1}\right)^n = \left(\frac{a}{b}\right)^n$

Übungen zur Regel P0

Übungen zur Regel P1

Übungen zur Regel P1 und P2

Übungen zur Regel P3 und P4

Potenzen und Wurzeln

W0: $\sqrt[n]{a}=a^{\frac 1 n}$
W1: $\sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$
W2: $\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[nm]{a}$
W3: $\sqrt[n]{a^m}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^m=\sqrt[\frac m n]{a}$

Mathe BK 1+2 Grundlagen

Nullstellen und Schnitt

Da für die $x$-Achse gilt: $y=0$ hat die Nullstelle des Schaubilds von $f(x)$ den $y$-Wert 0.
Der Ansatz um Nullstellen zu berechnen ist also: $f(x)=0$.

Da für die $y$-Achse gilt: $x=0$ hat der Schnittpunkt mit der $y$-Achse des Schaubilds von $f(x)$ den $x$-Wert 0.
Der Ansatz um $y$-Schnitt zu berechnen ist also 0 in $f(x)$ einzusetzen: $y=f(0)$.

Für einen Schnittpunkt von $f(x)$ und $g(x)$ gilt, dass der $x$ und $y$-Wert gleich sind.
Der Ansatz ist immer gleichsetzen: $f(x)=g(x)$ und dann nach $x$ umformen.
Es ist das selbe wie die Nullstellen der Differenz. Das heißt man bringt $g(x)$ auf die andere Seite und erhält: $f(x)-g(x)=0$.

Hoch- und Tiefpunkte

Hoch- und Tiefpunkte haben eine waagerechte Tangente, also die Steigung 0.
Hochpunkte sind zusätzlich rechtsgekrümmt und Tiefpunkte linksgekrümmt.
Die erste Ableitung macht hier also einen Vorzeichenwechsel (VZW). Bei HP von + nach - und bei TP von - nach +.
Ansatz:

$f(x)$ zwei mal ableiten
$f'(x)=0$ setzen um $x$-Werte zu bestimmen
Mit $f''(x)$ testen ob es HP ($f''(x)<0$) oder TP ($f''(x)<0$) ist
mit $f(x)$ den $y$-Wert bestimmen

Wendepunkte

Wendepunkte haben eine Krümmung von 0. Genauer gesagt: die zweite Ableitung macht hier einen Vorzeichenwechsel.
Ansatz:

$f(x)$ drei mal ableiten
$f''(x)=0$ setzen um $x$-Werte zu bestimmen
Mit $f'''(x)\neq 0$ testen ob es wirklich Wendepunkt ist
mit $f(x)$ den $y$-Wert bestimmen

Fläche zwischen Kurve und $x$-Achse

Die Fläche zwischen $x$-Achse und Funktion im Bereich $a\leq x\leq b$ ist das bestimmte Integral: $\int\limits_a^b f(x)\;dx = F(b)-F(a)$.
Ansatz:

$f(x)$ aufleiten (integrieren) um $F(x)$ zu bekommen
Grenzen einsetzen, also $F(b)$ und $F(a)$ berechnen
Fläche = $F(b)-F(a)$

Achtung: Flächen unter der $x$-Achse sind negativ. Wenn man also die Fläche will muss man von Nullstelle zu Nullstelle integrieren und die Flächenteile positiv machen (Betrag).

Fläche zwischen zwei Kurven

Die Fläche zwischen $f(x)$ und $g(x)$ im Bereich $a\leq x\leq b$ ist das bestimmte Integral: $\int\limits_a^b f(x)-g(x)\;dx = \int\limits_a^b f(x)\;dx - \int\limits_a^b g(x)\;dx $.
Wobei hier $f(x)$ oberhalb von $g(x)$ verläuft (sonst ist das Integral negativ).
Ansatz: