Potenzen

Potenzgesetze mit ganzzahligen Exponenten

• P0: $\stackrel{n-mal}{\overbrace{a\cdot a\cdot a\cdots a}} = a^n$
• P1: $a^n a^m=a^{n+m}$
• P2: $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$
• P3: $a^n b^n = (ab)^n$
• P4: $\left(a^n\right)^m=a^{n\cdot m}$
• P5: $a^0=1$

Für einen Bruch gilt: $\dfrac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$, da ja $\frac{a^n}{a^m}=a^n\cdot a^{-m} = a^{n-m}$ gilt.
Und für $\dfrac{a^n}{b^n} = \left(\dfrac{a}{b}\right)^n$, dies kann mit den Regeln wie folgt hergeleitet werden:
$\frac{a^n}{b^n}=a^n\cdot b^{-n} = a^n\cdot \left(b^{-1}\right)^n = \left(a\cdot b^{-1}\right)^n = \left(\frac{a}{b}\right)^n$

Potenzen und Wurzeln

Wurzeln sind nur anders geschriebene Potenzen:

• W0: $\sqrt[n]{a}=a^{\frac 1 n}$
• W1: $\sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$
• W2: $\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[nm]{a}$
• W3: $\sqrt[n]{a^m}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^m=\sqrt[\frac m n]{a}$