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Aufstellen von Sinus-/Kosinusfunktionen

Um eine Sinus-Funktion $f(x)=a\cdot\sin(b(x-c))+d$ aufzustellen,
muss man Werte für $a, b, c$ und $d$ finden.
Diese können in Textform oder in Form eines Schaubilds gegeben werden.
Da eine Kosinus-Funktion einer Sinus-Funktion entspricht,
die um $\frac\pi2$ nach links verschoben ist,
kann man leicht aus einer aufgestellten Sinus-Funktion eine Kosinus-Funktion machen und andersherum.
  • $a$  ist die Amplitude.
    Man kann sie bestimmen, indem man die Hälfte des Abstands vom höchsten $y$-Wert ($y_{Max}$)
    und dem niedrigsten $y$-Wert ($y_{Min}$) bestimmt: $a=\frac{y_{Max}-y_{Min}}{2}$
  • $d$ ist die Verschiebung in $y$-Richtung
    Man kann sie mit $d=\frac{y_{Max}+y_{Min}}{2}$ berechnen,
    da $y=d$ genau in der Mitte von $y_{Max}$ und $y_{Min}$ liegt.
  • $b$ bestimmt man über die Periodenlänge $P$.
    Denn $b=\frac{2\pi}P$. Die Periodenlänge kann man z.B. zwischen zwei benachbarten Hoch- oder Tiefpunkten ablesen.
  • $c$ ist die Verschiebung in $x$-Richtung.
    Man kann beim $\cos$ den Abstand von der $y$-Achse zum ersten Hochpunkt nehmen
    und beim $\sin$ den Abstand von der $y$-Achse zum Schnittpunkt mit der Mittellinie $y=d$.
Beispiele:
Schaubild einer Sinusfunktion zu der die Funktionsgleichung gesucht wird.
Gesucht ist die Sinus-Funktion, die zu diesem Schaubild passt.
Schaubild einer Sinusfunktion zu der die Funktionsgleichung gesucht wird mit Hilfslinien.
Die Sinus-Funktion mit Hilfslinien.
Zeichnet man die Hilfslinien in das Schaubild ein, so sieht man:
  • Maximales $y=7$
  • Minimales $y=3$
  • Periodenlänge = 2
  • Erster Schnitt von Mittellinie und Graph bei $x=0$
Amplitude:
Die Funktion geht von $y=3$ bis $y=7$. Damit ist die Amplitude $a= \frac{7-3}2 = \frac42 = 2$.
y-Verschiebung (d):
$d= \frac{7+3}2 = \frac{10}2 = 5$
Periodenlänge und b:
Eine Schwingung geht von $x=0$ bis $x=2$.
Die Periodenlänge ist also 2. Damit ist $b= \frac{2\pi}{2} = \pi$.
x-Verschiebung
Da eine Sinusfunktion gesucht ist und der erste Schnitt von Mittellinie und Graph bei $x=0$ liegt, ist $c=0$.
Gesuchte Funktion
Setzt man all dies in die allgemeine Sinus-Funktion $f(x)=a\cdot\sin(b(x-c))+d$ ein erhält man:
$f(x)=2\cdot\sin(\pi(x-0))+5$ oder
$f(x)=2\cdot\sin(\pi\,x)+5$
Schaubild einer Sinusfunktion zu der die Funktionsgleichung gesucht wird.
Gesucht ist die Sinus-Funktion, die zu diesem Schaubild passt.
Schaubild einer Sinusfunktion zu der die Funktionsgleichung gesucht wird mit Hilfslinien.
Die Sinus-Funktion mit Hilfslinien.
Zeichnet man die Hilfslinien in das Schaubild ein, so sieht man:
  • Maximales $y=3$
  • Minimales $y=1$
  • Periodenlänge = 2
  • Erster Schnitt von Mittellinie und Graph bei $x=\frac\pi2$
Amplitude:
Die Funktion geht von $y=1$ bis $y=3$. Damit ist die Amplitude $a= \frac{3-1}2 = \frac22 = 1$.
y-Verschiebung (d):
$d= \frac{3+1}2 = \frac{4}2 = 2$
Periodenlänge und b:
Eine ganze Schwingung ist nicht abgebildet. Aber eine Halbschwingung geht von $x=\frac\pi2$ bis $x=\frac{3\pi}{2}$.
Die Periodenlänge ist also $2\cdot \left(\frac{3\pi}{2}-\frac{\pi}{2}\right) =2\pi$.
Damit ist $b= \frac{2\pi}{2\pi} = 1$.
x-Verschiebung
Da eine Sinusfunktion gesucht ist und der erste Schnitt von Mittellinie und Graph bei $x=\frac{\pi}{2}$ liegt, ist $c=\frac{\pi}{2}$.
Gesuchte Funktion
Setzt man all dies in die allgemeine Sinus-Funktion $f(x)=a\cdot\sin(b(x-c))+d$ ein erhält man:
$f(x)=1\cdot\sin(1(x-\frac\pi2))+2$ oder
$f(x)=\sin(x-\frac\pi2)+2$