Lage von Ebene zu Ebene in Parameterform
Will man wissen, wie eine Ebene $E_1$ zu einer anderen Ebene $E_2$ liegt,
so setzt man diese gleich $E_1=E_2$.
Hieraus entsteht ein LGS.
Bringt man die Ortsvektoren nach rechts und die Richtungsvektoren nach links,
kann man das LGS in Matrixschreibweise lösen.
Das LGS hat 4 Variablen (die Vorfaktoren der Richtungsvektoren $r_1, s_1, r_2, s_2$))
aber nur 3 Zeilen, dadurch ist es unterbestimmt oder unlösbar.
Unlösbar bedeutet, dass die Ebenen parallel sind.
Unterbestimmt mit einer frei wählbaren Variable heißt, es gibt eine Schnittgerade.
Mit zwei frei wählbaren Parametern sind die Ebenen identisch.
Mögliche Fälle
Ist das LGS so weit es geht gelöst gibt es folgende 3 Fälle:
Schnittgerade:
$\left(\begin{array}{rrrr|r}
1 & * & * & * & *\\
0 & 1 & * & * & *\\
0 & 0 & 1 & b & c\\
\end{array}\right)
\begin{array}{l}
\\ \\ \ra r_2+b\cdot s_2 = c \ra r_2=c-b\cdot s_2
\end{array}
$
Setzt man in $E_2$ für $r_2$ den Term $c-b\cdot s_2$ ein erhält man die Schnittgerade.
keine Lösung ($E_1\parallel E_2$):
$\left(\begin{array}{rrrr|l}
1 & 0 & * & * & r\\
0 & 1 & * & * & s\\
0 & 0 & 0 & 0 & t\neq 0
\end{array}\right)$
Unlösbar, da die 3. Zeile $0=1$ ergibt.
$E_1$ ist $E_2$:
$\left(\begin{array}{rrrr|l}
1 & 0 & * & * & r\\
0 & 1 & * & * & s\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)$
Hier ist $r_2$ und $s_2$ unbestimmt,
somit können sie frei gewählt werden.
Damit erfüllt jeder Punkt von $E_2$ die Gleichung $E_1=E_2$.
Beispiel
gegeben:
$E_1:\ \vec x = \vek102+r_1\vek12{-1}+s_1\vek010$ und
$E_2:\ \vec x = \vek242+r_2\vek22{-1}+s_2\vek101$
Lösung:
-
Gleichsetzen: $E_1=E_2$
$\vek102+r_1\vek12{-1}+s_1\vek010=\vek242+r_2\vek22{-1}+s_2\vek101$
-
Variablen nach links, Konstanten nach rechts:
$r_1\vek12{-1}+s_1\vek010-r_2\vek22{-1}-s_2\vek101=\vek242-\vek102$
Minus in den Vektor bringen und Ortsvektoren verrechnen:
$r_1\vek12{-1}+s_1\vek010+r_2\vek{-2}{-2}{1}+s_2\vek{-1}0{-1}=\vek140$
- LGS lösen
$\left(\begin{array}{rrrr|r}
1 & 0 & -2 & -1 & 1\\
2 & 1 & -2 & 0 & 4\\
-1 & 0 & 1 & -1 & 0
\end{array}\right)$
$\sim\left(\begin{array}{rrrr|r}
1 & 0 & -2 & -1 & 1\\
0 & 1 & 2 & 2 & 2\\
0 & 0 & -1 & -2 & 1
\end{array}\right)$
$\sim\left(\begin{array}{rrrr|r}
1 & 0 & -2 & -1 & 1\\
0 & 1 & 2 & 2 & 2\\
0 & 0 & -1 & -2 & 1
\end{array}\right)$
-
Wir haben eine Schnittgerade. mit
$-r_2-2s_2=1\ra r_2=-1-2s_2$
Setzen wir dies in $E_2$ ein, erhalten wir:
$\vec x = \vek242+(-1-2s_2)\vek22{-1}+s_2\vek101 $
$\vec x = \vek242-1\vek22{-1}-2s_2\vek22{-1}+s_2\vek101 $
$\vec x = \vek023+s_2\vek{-4}{-4}{2}+s_2\vek101 $
$g:\ \vec x = \vek023+s_2\vek{-3}{-4}{3} $