Aufstellen von Ebenen in Parameterform

Mit drei Punkten

Bsp.: Gegeben 3 Punkte:

$A=\vek2{-1}0$, $B=\vek{-1}00$ und $C=\vek011$

$\vec v_1 = \vec{AB} = \vek{-1}00-\vek2{-1}0=\vek{-3}10$
$\vec v_2 = \vec{AC} = \vek011-\vek2{-1}0=\vek{-2}21$

$\vec v_1$ und $\vec v_2$ sind linear unabhängig (s. $x_3$).
$E:\vec x=\overrightarrow{OA}+s\cdot\vec v_1+t\cdot\vec v_1$

$E:\vec x= \vek2{-1}0 +s\vek{-3}10+t\vek{-2}21$

Mit einem Punkt und einer Geraden

Soll eine Ebene $E$ die Gerade $g:\vec x=\overrightarrow{OA}+k\vec v_1$ enthalten
und den Punkt $P$ (mit $P\notin g$),
so ist $E:\vec x = a+ r\cdot \vec v_1 + s\cdot\overrightarrow{AP}$.

Beispiel:

geg.: $P=\pkt312$ und $g:\vec x = \vek101 +k\cdot\vek{-2}{4}{1}$
$P$ liegt nicht auf $g$, da $\vek211\neq k\vek{-2}{4}{1}$
$E:\vec x = \vek101 +k\cdot\vek{-2}{4}{1}+s\cdot\vek211$

Gerade und Gerade

Gegeben sind zwei Geraden $g_1:\vec x=\vec p_1 + r\vec v_1$ und $g_2:\vec x=\vec p_2 + s\vec v_2$.
Gesucht ist die Ebene $E$, die beide Geraden enthält.

Fall 1: Geraden schneiden sich
$E:\vec x=\vec p_1+r\vec v_1+s\vec v_2$

Fall 2: Geraden sind parallel
$E:\vec x=\vec p_1+r\vec v_1+s(\vec p_1-p_2)$

Fall 3: windschiefe oder identische Geraden
Geht nicht, da identische Geraden nur eine Gerade geben.
Bei windschiefen Geraden ist das Problem, dass die Geraden nicht in einer Ebene liegen.