Der kleinste Abstand zwischen einem Punkt $P$ ist
einer Geraden $g:\vec x = \vec a+k\vec v$
ist eine senkrechte Linie von $P$ zu $g$.
$P=\pkt111$ und $g:\vec x = \vek400+k\vek220=\vek{4+2k}{0+2k}{0+0k}$
$\overrightarrow{Pg}
=\vek{4+2k-1}{0+2k-1}{0+0k-1}
=\vek{2k+3 }{2k-1 }{-1}$
$\overrightarrow{Pg}\cdot \vec v$
$=\vek{2k+3}{2k-1}{-1}\vek220 $
$= (2k+3)\cdot 2 + (2k-1)\cdot 2 + (k-1)\cdot 0$
$= 4k+6 + 4k-2 + 0$
$= 8k-4 $
Somit ist $8k-4=0 \ra k=\frac12$
$x_p = \vek400+\frac12\vek220 = \vek510$
Abstand:
$|\overrightarrow{Px_p}|$
$=\left|\vek{5-1}{1-1}{0-1}\right|$
$=\left|\vek{4}{0}{-1}\right|$
$=\sqrt{4^2+(-1)^2}$
$=\sqrt{17}
\approx 4{,}12
$