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Geraden in 3D

Eine Gerade im Raum ergibt sich durch Ortsvektor (Aufpunktvektor) und Richtungsvektor: \[g:\;\vec x=\vek{1}{2}{-3}+k\vek{1}{0}{-0{,}5}\] In der Geraden $g:\; \vec x = \vec p + k\cdot \vec v$ ist $P$ der Aufpunkt und $\vec p = \overrightarrow{OP}$ ist der Stützvektor (Aufpunktvektor, Ortsvektor).
Der Richtungsvektor ist $\vec v$. Mit der Variable (hier $k$) kann $v$ beliebig gestreckt werden.
Im Prinzip sind dies drei Gleichungen: $\begin{array}{l@{\,}r@{\;}c@{\;}r@{}l} x_1=& 1&+&1&\cdot k \\ x_2=& 2&+&0&\cdot k \\ x_3=&-3&-&0{,}5&\cdot k \\ \end{array} $
Um einen Punkt auf der Geraden zu bekommen, wählt man eine Wert für $k$ und rechnet aus.
Beispiele
$g:\;\vec x=\vek{1}{2}{-3}+k\vekc{1}{0}{-0{,}5}$
  1. $k= 0$ $\ra \vec x$ $=\vek{1}{2}{-3}+ 0 \cdot \vekc{1}{0}{-0{,}5}$ $= \vek12{-3}$
  2. $k= 2$ $\ra \vec x$ $=\vek{1}{2}{-3}+ 2 \cdot \vekc{1}{0}{-0{,}5}$ $= \vek{3}{2}{-4}$
  3. $k=-8$ $\ra \vec x$ $=\vek{1}{2}{-3}+(-8)\cdot \vekc{1}{0}{-0{,}5}$ $= \vek{-7}{2}{1}$

Punktprobe

Will man überprüfen ob der Punkt $P$ auf $g$ liegt, so setzt man $g=\overrightarrow{OP}$ und bestimmt $k$.
Anmerkung: Sei $P$ ein Punkt mit $\vec p=\overrightarrow{OP}$ und $g:\vec x=\vec a + k\cdot \vec v$.
Ob $P$ in $g$ liegt ist das selbe wie:
Sind $\overrightarrow{AP}=\vec p -\vec a$ und $\vec v$ linear abhängig.
Beispiel
$g:\;\vec x=\vek{1}{1}{3}+k\vek{1}{2}{-1}$
  1. $P_1(4\mid 7 \mid 0) \ra \vek{4}{7}{0} = \vek{1}{1}{3}+k\vek{1}{2}{-1} \ra \vek{3}{6}{-3}=k\vek{1}{2}{-1} \ra \begin{array}{l}k=3\\k=3\\k=3\end{array} $
    Mit $k=3$ liegt $P_1$ auf $g$.
  2. $P_2(2\mid 2 \mid 2)\ra \vek{2}{2}{2} = \vek{1}{1}{3}+k\vek{1}{2}{-1} \ra \vek{1}{1}{-1}=k\vek{1}{2}{-1} \ra \begin{array}{l}k=1\\k=\frac12\\k=1\end{array} $
    Kein einheitlicher $k$-Wert. $P_2$ liegt nicht auf $g$.
  3. $P_3(1\mid 4 \mid 2)\ra \vek{1}{4}{2} = \vek{1}{1}{3}+k\vek{1}{2}{-1} \ra \vek{0}{3}{-1}=k\vek{1}{2}{-1} \ra \begin{array}{l}k=0\\k=\frac32\\k=1\end{array} $
    Es existiert kein $k$, so dass $P_3\in g$.
  4. Liegt $P(2\mid 2 \mid 0)$ auf $g:\ \vec x=\vek{1}{2+2k}{1+4k}$?
    $\vek220 = \vek121+k\vek024$
    $\vek10{-1} = k\vek024$
    $\begin{array}{r@{\,=\,}rl}1&0&\\0&2k\\-1&4k\end{array}$
    Die erste Gleichung ist unlösbar (also liegt $P$ nicht auf $g$).
Alternative:
Man kann auch den Winkel zwischen $\overrightarrow{PP_g}$ und $\vec v_g$ bestimmen.
Liegt $P$ auf $g$ so ist er $0\degree$ oder $180\degree$.

Winkel zwischen Geraden

Der Winkel zwischen zwei Geraden $g_1$ und $g_2$ ist der Winkel zwischen ihren Richtungsvektoren $\vec v_1$ und $\vec v_2$.
Wenn sich $g_1$ und $g_2$ schneiden, dann ist dies auch der Schnittwinkel.
Der Winkel kann aber auch von Interesse sein, wenn die Geraden sich nicht schneiden.