Schnitt von Geraden

$\begin{array}{l@{\ =\ }l@{\qquad }l} \vek{1}{2}{-1}+k_1\vek{1}{-2}{1} & \vek{2}{0}{0}+k_2\vek{3}{-2}{0} & \left|\begin{array}{l}\text{Ortsvektoren nach rechts}\\ \text{Richtungsvektoren nach links}% \end{array}\right.\\ k_1\vek{1}{-2}{1}+k_2\vek{-3}{2}{0} & \vek{2}{0}{0}-\vek{1}{2}{-1} & |\ \text{rechts zusammenrechnen}\\ k_1\vek{1}{-2}{1}+k_2\vek{-3}{2}{0} & \vek{-1}{-2}{1} &|\ \text{LGS lösen}\\ \end{array}$
$ \left(\begin{array}{rr|r} 1 & -3 & 1 \\ -2 & 2 & -2\\ 1 & 0 & 1\\ \end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{rr|r} 1 & -3 & 1 \\ 0 & -4 & 0\\ 0 & -3 & 0\\ \end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{rr|r} 1 & -3 & 1 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ \end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{rr|r} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ \end{array}\right) \ra k_1=1 \wedge k_2=0$
Schnittpunkt: $\pkt200$

$g:\;\vec x=\vek{1}{-2}{0{,}5}+k\vek1{-0{,}5}{2}$
$h:\;\vec x=\vek{3}{-3}{4{,}5}+k\vek{-2}{1}{-4}$ Ansatz: $g=h$
$ \left(\begin{array}{rr|r} 1 & 2 & 2 \\ -0{,}5 & -1 & -1\\ 2 & 4 & 4\\ \end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{rr|r} 1 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ \end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{rr|r} 1 & 0 & 2-2a \\ 0 & 1 & a\\ 0 & 0 & 0\\ \end{array}\right)$ $\ra k_2=a \wedge k_1=2-2a \ra g \text{ identisch mit }h$
Da $k_2$ beliebig ist liegen alle Punkte von $g_2$ auf $g_1$.
Ersetzt man in $g_1$ $k=2-2a$ und fasst zusammen, so erhält man $g_2$.

Bsp. 3
$g:\;\vec x=\vek{1}{-2}{0{,}5}+k\vek1{-0{,}5}{2}$
$h:\;\vec x=\vek{1}{-2}{2}+k\vek{2}{-1}{4}$
Ansatz: $g=h$
$ \left(\begin{array}{rr|r} 1 & -2 & 0 \\ -0{,}5 & 1 & 0\\ 2 & -4 & 1{,}5\\ \end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{rr|r} 1 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1{,}5\\ \end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{rr|r} 1 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0\\ \end{array}\right)$ $\ra 0=1 \text{ unlösbar}$
Das LGS ist unlösbar, d.h. die Geraden schneiden sich nicht.
Die Richtungsvektoren zeigen in die gleiche Richtung $2\vec v_1=\vec v_2$.
Damit sind die Geraden parallel zueinander.

Bsp. 4
$g:\;\vec x=\vek{1}{2}{-1}+k\vek1{-2}{1}$
$h:\;\vec x=\vek{2}{0}{-1}+k\vek{3}{-2}{0}$ Ansatz: $g=h$
$ \left(\begin{array}{rr|r} 1 & -3 & 1 \\ -2 & 2 & -2\\ 1 & 0 & 0\\ \end{array}\right)\sim$ $\left(\begin{array}{rr|r} 1 & 0 & 0\\ 1 & -3 & 1 \\ -2 & 2 & -2\\ \end{array}\right)\sim$ $\left(\begin{array}{rr|r} 1 & 0 & 0\\ 0 & -3 & 1 \\ 0 & 2 & -2\\ \end{array}\right)\sim$
$\left(\begin{array}{rr|r} 1 & 0 & 0\\ 0 & -3 & 1 \\ 0 & 0 & -4\\ \end{array}\right)\sim$ $\left(\begin{array}{rr|r} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & -\frac13 \\ 0 & 0 & 1\\ \end{array}\right)\sim$ $\left(\begin{array}{rr|r} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{array}\right)$
Das LGS ist unlösbar (letzte Zeile $0=1$).
Die Richtungsvektoren sind nicht linear Abhängig (s. $x_3$-Koordinate).
Die Geraden sind windschief zueinander (kein Schnitt und nicht parallel).