Lineare Abhängigkeit
Zwei Vektoren sind linear abhängig, falls gilt:
$a\cdot\vec v_1 + b\cdot\vec v_2=\vec 0$ (mit $a\neq 0$, $b\neq 0$).
Daraus folgt $ a\cdot\vec v_1 =-b\cdot\vec v_2\ra \vec v_1 = -\frac ba\vec v_2$
Somit muss $\vec v_1$ ein Vielfaches von $\vec v_2$ sein.
Bildlich gesprochen: $\vec v_1$ und $\vec v_2$ zeigen in die selbe Richtung.
Bsp. 1:
Geg.: $\vec v_1=\vek371$ und $\vec v_2=\vek120$
Ansatz: $a\cdot\vec v_1 + b\cdot\vec v_2=\vec 0$
$a\vek371 +b\vek120 =\vek000 \ra$
$\left(\begin{array}{rr|r}
3&1&0\\
7&2&0\\
1&0&0\\
\end{array}\right)\sim$
$\left(\begin{array}{rr|r}
1&0&0\\
0&1&0\\
0&0&0\\
\end{array}\right)$
$\ra a=0\wedge b=0 \wedge 0=0
$
$\ra$ $\vec v_1$ und $\vec v_2$ sind linear unabhängig, da
$0\cdot\vec v_1 + 0\cdot\vec v_2=\vec 0$ die einzige Lösung ist.
Im Plotter ansehen
Bsp. 2:
Geg.: $\vec v_1=\vek369$ und $\vec v_2=\vek{-1}{-2}{-3}$
Ansatz: $a\cdot\vec v_1 + b\cdot\vec v_2=\vec 0$
$\left(\begin{array}{rr|r}
3&-1&0\\
6&-2&0\\
9&-3&0\\
\end{array}\right)\sim$
$\left(\begin{array}{rr|r}
1&-\frac 1 3&0\\
0&0&0\\
0&0&0\\
\end{array}\right)$
$\ra 1a+\left(-\frac 1 3\right)c=0\ra 3a=c
$
$\ra$ $\vec v_1$ und $\vec v_2$ sind linear abhängig, da
$1\cdot\vek369+3\cdot\vek{-1}{-2}{-3}=\vek000$
gilt
(jede Zahl $a$ ist möglich mit $c=3a$).
im Plotter ansehen
Alternative für zwei Vektoren
Damit zwei Vektoren $\vec v_1$ und $\vec v_2$ linear abhängig sind muss
gelten: $a\vec v_1 = \vec v_2$.
Man kann für jede Koordinate $x_i$
den Faktor bestimmen. Sind alle 3 Faktoren gleich, so sind sie linear abhängig.
Bsp.1:
$\vek123$ und $\vek246$
$\ra
\begin{array}{ll}
1a = 2 & \ra a=2 \\
2a = 4 & \ra a=2 \\
3a = 6 & \ra a=2 \\
\end{array}$
Hier ist $a=2$ und somit gilt $2\vec v_1=v_2$.
Sie sind linear abhängig.
Bsp.2:
$\vek123$ und $\vek444$
$\ra
\begin{array}{ll}
1a = 4 & \ra a=4 \\
2a = 4 & \ra a=2 \\
3a = 4 & \ra a=\frac43 \\
\end{array}$
Es existiert kein $a$, dass alle drei Gleichungen erfüllt.
Die Vektoren sind linear unabhängig.
Bei drei Vektoren
3 Vektoren sind linear unabhängig, falls
$a\cdot\vec v_1 + b\cdot\vec v_2+c\cdot\vec v_3=\vec 0$
nur die Lösung $a=b=c=0$ hat.
Gibt es andere Lösungen sind die 3 Vektoren linear abhängig.
Bsp. 1: $\vec v_1=\vek101$, $\vec v_2=\vek320$, $\vec v_3=\vek{-1}{1}{1}$
$\left(\begin{array}{rrr|r}
1&3&-1&0\\
0&2&1&0\\
1&0&1&0\\
\end{array}\right)\sim$
$\left(\begin{array}{rrr|r}
1&0&0&0\\
0&1&0&0\\
0&0&1&0\\
\end{array}\right)$
$\ra a=b=c=0
$
Im Plotter ansehen
Bsp. 2: $\vec v_1=\vek111$, $\vec v_2=\vek320$, $\vec v_3=\vek{2}{1}{-1}$
$\left(\begin{array}{rrr|r}
1& 3& 2&0\\
1& 2& 1&0\\
1& 0&-1&0\\
\end{array}\right)\sim$
$\left(\begin{array}{rrr|r}
1& 3& 2&0\\
0& 1& 1&0\\
0& 3& 3&0\\
\end{array}\right)\sim$
$\left(\begin{array}{rrr|r}
1& 3& 2&0\\
0& 1& 1&0\\
0& 0& 0&0\\
\end{array}\right)\sim$
$\left(\begin{array}{rrr|r}
1& 3& 2&0\\
0& 1& 1&0\\
0& 0& 1&c\\
\end{array}\right)\sim$
$\left(\begin{array}{rrr|r}
1& 3& 0&-2c\\
0& 1& 0&-c\\
0& 0& 1&c\\
\end{array}\right)\sim$
$\left(\begin{array}{rrr|r}
1& 0& 0& c\\
0& 1& 0&-c\\
0& 0& 1& c\\
\end{array}\right)
$
Somit ist $a=c$, $b=-c$ und $c=c$.
$1\cdot \vec v_1 + (-1)\cdot \vec v_2 + 1\cdot \vec v_3=\vec 0$
oder $\vec v_1 -\vec v_2 = -\vec v_3$
oder $\vec v_1 +\vec v_3 = \vec v_2$
Im Plotter ansehen
Wenn drei Vektoren linear abhängig sind, dann hat der aufgespannte
Spat ein Volumen von 0.