Bedingte Wahrscheinlichkeit

Ist ein Ereignis $A$ bereits eingetreten und man will jetzt die Wkt von einem Ereignis $B$ wissen,
so spricht man von einer bedingten Wahrscheinlichkeit.

Man schreibt $P_A(B)$ für die Wkt, dass $B$ eintritt, wenn $A$ bereits eingetreten ist (auch: $P(B\mid A))$.

Beispiel:

Würfel: $A=$ "gerade Zahl" und $B=$ "eine 6".
Somit ist $P(A)=\frac13$ und $P(B)=\frac16$.

Man weiß es ist eine gerade Zahl geworfen worden.
Mit welcher Wkt ist es eine 6?
möglich: nur noch (2,4,6)
günstig: die 6
$P_A(B) = \dfrac{|\{6\}|}{|\{2,4,6\}|} =\frac13$
Man weiß es ist keine gerade Zahl geworfen worden.
Mit welcher Wkt ist es eine 6?
möglich: (1,3,5)
günstig: die 6 (nicht möglich, da 6 gerade)
$P_{\bar A}(B) = \frac{0}{3}=0$
Man weiß es ist keine gerade Zahl geworfen worden.
Mit welcher Wkt ist es keine 6?
möglich: 1,3,5,
günstig: 1,2,3,4,5 (aber 2, 4 nicht möglich)
$P_{A}(\bar B) = \dfrac{|\{1,2,3,4,5\}|}{|\{1,3,5\}|} = \dfrac{|\{1,3,5\}|}{|\{1,3,5\}|} = \dfrac{3}{3}=1$

Wenn $A$ bereits eingetreten ist, dann ist $A$ die neue Ergebnismenge.
Es können ab jetzt nur Ergebnisse eintreten, die in $A$ sind.

Die günstigen Ergebnisse sind also die, welche in $B$ und in $A$ sind.

Mit günstig durch möglich ergibt sich also:

$P_A(B) = \dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$

Folgende Abbildung veranschaulicht dies:

mögliche und günstige Ereignisse nachdem $A$ eingetreten ist und $B$ gewollt ist

Beispiele von vorher:

Würfel: $A=\{2; 4; 6\}$ "gerade Zahl" und $B=$ "eine 6"

$P_A(B) = \dfrac{P(A\cap B)}{P(A)} = \dfrac{P(\{2; 4; 6\}\cap\{6\})}{P(\{2,4,6\})} = \dfrac{P(\{6\})}{P(\{2,4,6\})} =\frac13$
$P_{\bar A}(B) =\dfrac{P(\bar A\cap B)}{P(\bar A)} = \dfrac{P(\{1; 3; 5\}\cap\{6\})}{P(\{2,4,6\})} = \dfrac{P(\{\})}{P(\{2,4,6\})} =0$
$P_{A}(\bar B) =\dfrac{P(A\cap \bar B)}{P(A)} = \dfrac{P(\{1,3,5\}\cap\{1,2,3,4,5\})}{P(\{1,3,5\})} = \dfrac{P(\{1,3,5\})}{P(\{1,3,5\})} =1$