Konfidenzintervall
Ist die Wkt $p$ einer binomial-verteilten Größe nicht bekannt,
so kann man sie mit einer Stichprobe schätzen.
Diese geschätzte Wkt $\hat p$ ist natürlich nicht genau und
somit unsicher.
Ein Konfidenzintervall ist ein Intervall, das
die tatsächliche Wahrscheinlichkeit $p$
mit einer gewissen Wkt überdeckt (z.B. 90%), dies nennt
man auch Konfidenzniveau.
Hat man eine Stichprobe von $n$ unabhängigen Ereignissen (Bernoulli verteilt) mit $e$ Erfolgen,
so liegt $p$
in
$\left[\,
\hat p-k\cdot\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}n}
;\;
\hat p+k\cdot\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}n}
\,\right]
$
$\hat p$ ist die geschätzte Wahrscheinlichkeit $\frac{e}{n}$
und $k$ entsprechend der gewählten $k\cdot\sigma$-Wahrscheinlichkeit.
Die Formel ist in der Merkhilfe.
Anmerkung:
Wenn $n$ größer wird, wird das Konfidenzintervall kleiner.
Bei größeren Stichproben kann die Wahrscheinlichkeit also besser eingegrenzt werden.
Beispiel:
Ein 6-seitiger Würfel wird 200-mal geworfen.
Es treten 50 Einser auf. Ist der Würfel gezinkt?
relative Häufigkeit: $\hat p=\frac{50}{200}=\frac14$
$\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}n}=\sqrt{\frac{\frac14\left(1-\frac14\right)}{200}}
=0{,}0306$
99%-Konfidenzintervall:
$\left[ \frac14-2{,}58\cdot0{,}0306;\; \frac14+2{,}58\cdot0{,}0306\right]=$
$\left[\frac14-0{,}079;\; \frac14+0{,}079\right]=$
$[0{,}1710;\;0{,}329]$
Das Konfidenzintervall überdeckt mit 99%-iger Wkt,
die Wkt von $\frac16=0{,}1\bar6$
nicht.
Der Würfel ist höchstwahrscheinlich gezinkt.
Herleitung
Die geschätzten Größen sind $\hat p$ für die relative Häufigkeit und
$\hat \sigma$ für die geschätzte Varianz.
Formt man das Vertrauensintervall um erhält man das Konfidenzintervall.
Hierbei ist der Wert der Zufallsvariable $X=n\hat p$,
der Mittelwert $np$ und
die geschätzte Varianz $\hat \sigma = \sqrt{n\hat p(1-\hat p)}$,
wie aus der Binomialverteilung bekannt.
$
\begin{array}{r@{\,}c@{\,}l}
\mu-k\cdot\sigma\leq& X &\leq \mu+k\cdot\sigma\\
np-k\cdot\hat\sigma\leq& n\hat p &\leq np+k\cdot\hat\sigma\\
p-k\cdot\frac{\sqrt{n\hat p(1-\hat p)}}n\leq & \hat p &\leq p+k\cdot\frac{\sqrt{n\hat p(1-\hat p)}}n\\
p-k\cdot\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}n}\leq & \hat p &\leq p+k\cdot\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}n}\\
-k\cdot\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}n}\leq & \hat p -p&\leq k\cdot\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}n}\\
-\hat p-k\cdot\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}n}\leq& -p &\leq-\hat p+k\cdot\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}n}\\
\hat p+k\cdot\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}n}\geq & p &\geq \hat p-k\cdot\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}n}\\
\hat p-k\cdot\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}n}\leq & p &\leq\hat p+k\cdot\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}n}\\
\end{array}
$