< Tangenten bei gegebenem $x$
waagerechte Tangenten >

Tangenten bestimmen bei gegebenem $m$

Hat man eine Funktionsgleichung $f(x)$ gegeben
und will Tangenten mit einer gegebenen Steigung bestimmen,
so muss man zuerst die $x$-Werte der Berührpunkte bestimmen.
Die $x$-Werte erhält man durch Lösen der Gleichung $f'(x)=m$.
Denn man sucht ja eine Tangente mit der Steigung $m$,
also muss die Funktion am Berührpunkt die Steigung $m$ haben.
Die Steigung von $f(x)$ ist $f'(x)$.
Wenn man die $x$-Werte hat, geht es weiter wie beim Tangenten aufstellen mit gegebenem $x$.
Beispiele
  1. Gegeben: $f(x)=x^3$
    Gesucht: Tangente an den Graph von $f$ mit der Steigung 1.
    Lösung:
    • Ableitung bestimmen: $f'(x)=3x^2$
    • $x$ bestimmen: $f'(x)=1$
      $\begin{array}{rcl} f'(x)&=&1\\ 3x^2 &=&1\\ x^2 &=&\frac13\\ x_{1,2}&=&\pm\sqrt{\frac13}\\ x_1&\approx& -0{,}577\\ x_2&\approx& +0{,}577\\ \end{array}$
    • $y$ bestimmen: $y_1=f\left(-\sqrt{\frac13} \right)=-\frac{\sqrt3}{9}$
      und $y_2=f\left( \sqrt{\frac13} \right)=\frac{\sqrt3}{9}$
    • In $y=mx+b$ einsetzen:
      Mit $x_1$: $-\frac{\sqrt3}{9}=1\cdot \left(-\sqrt{\frac13}\right)+b$
      Mit $x_1$: $b=\frac{2\sqrt3}9\approx 0{,}38$
      Mit $x_2$: $\frac{\sqrt3}{9}=1\cdot \left(\sqrt{\frac13}\right)+b$
      Mit $x_2$: $b=-\frac{2\sqrt3}9\approx -0{,}38$
    • Tangenten angeben:
      $t_1(x)=x+0{,}38$
      $t_2(x)=x-0{,}38$
    Das Schaubild der Funktion und ihre Tangente
    Graph von $f(x)=x^3$ und die Tangenten mit $m=1$