Gauß Algorithmus
Beim Gauß-Algorithmus zum Lösen von LGS vertauschen wir Zeilen (wenn nötig) und
addieren Zeilen so zusammen, dass wir immer mehr 0en bekommen.
Der Weg zur oberen Dreiecksmatrix
Wir nehmen die 1. Zeile, um unter diese Zeile in der 1. Spalte 0en zu erzeugen.
Wir nehmen die 2. Zeile, um unter diese Zeile in der 2. Spalte 0en zu erzeugen.
Wir nehmen die 3. Zeile, um unter diese Zeile in der 3. Spalte 0en zu erzeugen...
$
\left(
\begin{array}{ccc|c}
*&*&*&*\\
*&*&*&*\\
*&*&*&*\\
\end{array}
\right)
\sim
\left(
\begin{array}{ccc|c}
*&*&*&*\\
0&*&*&*\\
0&*&*&*\\
\end{array}
\right)
\sim
\left(
\begin{array}{ccc|c}
*&*&*&*\\
0&*&*&*\\
0&0&*&*\\
\end{array}
\right)
$
Der Weg zur Diagonalmatrix
Wir nehmen die Zeile $n,\phantom{{}-1}$ um über dieser Zeile in der Spalte $n\phantom{{}-1}$ 0en zu erzeugen.
Wir nehmen die Zeile $n-1$, um über dieser Zeile in der Spalte $n-1$ 0en zu erzeugen.
...
Wir nehmen die Zeile $2,\phantom{{}-1}$ um über
dieser Zeile in der Spalte $2\phantom{{}-1}$ 0en zu erzeugen.
$
\sim
\left(
\begin{array}{ccc|c}
*&*&0&*\\
0&*&0&*\\
0&0&*&*\\
\end{array}
\right)
\sim
\left(
\begin{array}{ccc|c}
*&0&0&*\\
0&*&0&*\\
0&0&*&*\\
\end{array}
\right)
\sim
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1&0&0&x_1\\
0&1&0&x_2\\
0&0&1&x3\\
\end{array}
\right)
$
Zeilen vertauschen
Kommen wir an einer Matrix vorbei, die eine 0 hat,
wo keine 0 stehen soll,
müssen wir die Zeile mit einer darunter tauschen:
Beispiel 1:
$
\left(\begin{array}{ccc|c}
*&*&*&*\\
0&0&*&*\\
0&*&*&*
\end{array}\right)
$
Wir vertauschen Zeile 2 und 3,
da wir in der zweiten Zeile in der zweiten Spalte keine 0 wollen.
$
\left(
\begin{array}{ccc|c}
*&*&*&*\\
0&*&*&*\\
0&0&*&*\\
\end{array}
\right)
$
Beispiel 2:
$
\left(
\begin{array}{ccc|c}
0&*&*&*\\
0&*&*&*\\
*&*&*&*
\end{array}
\right)
\sim
\left(
\begin{array}{ccc|c}
*&*&*&*\\
0&*&*&*\\
0&*&*&*\\
\end{array}
\right)
$
Faktoren bestimmen:
$
\left(
\begin{array}{ccc|c}
a&*&*&*\\
b&*&*&*\\
*&*&*&*
\end{array}
\right)
\begin{array}{l}
\ \cdot b\\
\ \cdot (-a)\\
\
\end{array}
$
Man kann $\dfrac ba$ in den Taschenrechner eingeben und
von dem gekürzten Bruch den Zähler statt $b$ und den Nenner statt $a$ nehmen.
Sicherheit
Berechnet man für jede Zeile die Zeilensumme,
so kann man Fehler frühzeitig erkennen.
$\left(\begin{array}{rrr|r}
-2&2&2& 3\\
4&1&2&-1
\end{array}\right)
\left[
\begin{array}{c}
5 \\
6
\end{array}
\right]
\begin{array}{l}
|\ \cdot(2)\\
|\ \leftarrow\!|\; +
\end{array}$
Wenn wir die 1. Zeile mal zwei nehmen und zur 2. Zeile addieren,
machen wir das gleiche mit den Zeilensummen.
Danach berechnen wir die neue Zeilensumme der neuen 2. Zeile,
stimmt diese nicht mit der zuvor berechneten überein,
so haben wir und verrechnet.
$
\left(\begin{array}{rrr|r}
-2&2&2& 3\\
0&5&6& 5
\end{array}\right)
\left[
\begin{array}{l}
5 \\
16\scriptstyle\,=\,2\cdot 5+6
\end{array}
\right]
\begin{array}{l}
\\
\ \neq 16\ra\text{ Fehler}
\end{array}
$