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Diskriminante

Eine Parabel kann null, einen oder zwei Schnittpunkte mit der x-Achse haben. Wenn es nur einen Schnittpunkt mit der x-Achse gibt ist dies eine doppelte Nullstelle, d.h. der Scheitel liegt auf der x-Achse.
3 Parabeln, eine mit 2, eine mit einer und eine mit 0 Nullstellen
Die möglichen Fälle, wenn man
eine Parabel mit der x-Achse schneidet.
Die Diskriminante D=b2−4ac gibt an, wie viele Schnittpunkte eine Parabel mit der x-Achse hat: Die Diskriminante ist genau der Term, der in der Mitternachtsformel unter der Wurzel steht: x1,2=−b±√b2−4ac2a.
Steht in der Mitternachtsformel etwas negatives unter der Wurzel, hat sie keine Lösung (keine Nullstelle), steht 0 unter der Wurzel hat sie genau eine Lösung (eine Nullstelle bei x=−b2a) und ist der Wert unter der Wurzel positiv, so hat sie zwei Lösungen (zwei Nullstellen).
Bsp.: Gesucht ist die Anzahl der Nullstellen.
  1. f(x)=2x2−3x+1
    D=(−3)2−4⋅2⋅1=9−8=1
    Somit ist D>0 und f hat zwei Nullstellen.
  2. g(x)=4x2+2 (hier ist b=0)
    D=02−4⋅4⋅2=−32
    Somit ist D<0 und g hat keine Nullstellen.
  3. h(x)=8x2−16x+8
    D=(−16)2−4⋅8⋅8=0
    Somit ist D=0 und h hat eine Nullstellen.
Hat man die Diskriminante berechnet und sie ist kleiner 0 ist man fertig.
Wenn sie positiv oder 0 ist, kann man den Wert in der Mitternachtsformel unter der Wurzel einsetzen, somit ist die Berechnung der Diskriminante nie verschwendete Arbeit.
Bsp.: Gesucht sind die Nullstellen.
  1. f(x)=2x2−3x+1
    D=1
    Somit ist D>0 und f hat zwei Nullstellen, nämlich:
    x1,2=−b±√D2⋅a=3±√12⋅2
    x1=3−14=12
    x2=3+14=1
    Die Nullstellen sind: x2=12 und x2=1,
    die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind N1(12∣0) und N2(1∣0)
  2. h(x)=8x2−16x+8
    D=0
    x=16±√02⋅8=1616=1
    Die Nullstelle liegt bei x=1, der Schnittpunkt mit der x-Achse ist also bei N(1∣0).
    Da es nur eine gibt, ist dieser auch der Scheitel S(1∣0).