Eigenschaften der Ableitungen
Von den Ableitungen interessiert oft nur das Vorzeichen des Ableitungswertes und
ihre Nullstellen.
Eigenschaften der 1. Ableitung
- Ist $f'(x)\gt 0$, so steigt $f(x)$ (der Graph der Funktion geht nach oben).
- Ist $f'(x)\lt 0$, so fällt $f(x)$ (der Graph der Funktion geht nach unten).
- Ist $f'(x)=0$, der Graph hat keine Steigung (waagerechte Tangente).
Eigenschaften der 2. Ableitung
Die 2. Ableitung ist die Steigung der ersten Ableitung.
Sie gibt die Krümmung der Funktion an.
- Ist $f''(x)\gt0$, Graph ist linksgekrümmt (Linkskurve)
- Ist $f''(x)\lt0$, Graph ist rechtsgekrümmt
- Ist $f''(x)=0$, Keine Krümmung (gerades Stück, evtl. Wendepunkt)
Hoch-/Tiefpunkt
Eine Hoch- oder Tiefpunkte nennt man Extremum (Plural: Extrema).
Ein Hochpunkt liegt bei $x_0$ vor, wenn $f'(x_0)=0$ und
$f'$ eine Vorzeichenwechsel (VZW) bei $x_0$ von $+$ nach $-$ macht (ungerade Nullstelle).
Ist $f''(x_0)\lt0$ macht $f'$ einen $+-$VZW (aber nicht anderherum siehe z.B. $-x^4$).
Ein Tiefpunkt liegt vor, wenn $f'(x)=0$ und
$f'$ eine Vorzeichenwechsel (VZW) bei $x_0$ von $-$ nach $+$ macht (ungerade Nullstelle).
Ist $f''(x)\gt0$ macht, $f'$ einen $+-$VZW (aber nicht anderherum siehe z.B. $x^4$).
Hier wechselt die Steigung von negative nach positiv (von fallend nach steigend).
Notwendiges Kriterium für Extrema:
| Hochpunkt bei $x_0$: | $f'(x_0)=0$ (und VZW von $+$ nach $-$ von $f'(x_0)$) |
| Tiefpunkt bei $x_0$: | $f'(x_0)=0$ (und VZW von $-$ nach $+$ von $f'(x_0)$) |
Hinreichendes Kriterium
| Hochpunkt bei $x_0$: | $f'(x_0)=0$ und $f''(x_0)\lt0$ | 😞 |
| Tiefpunkt bei $x_0$: | $f'(x_0)=0$ und $f''(x_0)\gt0$ | 😊 |
Der Wendepunkt
Im Wendepunkt ändert sich die Krümmung der Funktion.
Notwendig: $f''(x)=0$
Hinreichend: notwendig und $f'''(x)\neq 0$ oder VZW von $f''$.
Hier wechselt die Krümmung bei $f'''(x)>0$ (VZW von $-$ nach $+$) von rechts- nach linksgekrümmt
und bei $f'''(x)\lt0$ (VZW von $+$ nach $-$) von links- nach rechtsgekrümmt.
Hat ein Wendepunkt eine waagerechte Tangente, so nennt man ihn
Sattelpunkt.
Merkregel
N = Nullstelle
E = Extrempunkt (Hoch-/Tiefpunkt)
W = Wendepunkt
| N | E | W | | | in $f(x)$ |
| N | E | W | | in $f'(x)$ |
| | N | E | W | in $f''(x)$ |
- Eine Nullstelle in $f(x)$ wird zu nichts in $f'(x)$ und $f''(x)$
- Eine Extrempunkt in $f(x)$ wird zur Nullstelle in $f'(x)$
- Eine Wendepunkt von $f(x)$ wird zum Extrempunkt in $f'(x)$ und wird zur Nullstelle in $f''(x)$
- Bei einem Sattelpunkt fallen E und W zusammen, somit hat die Ableitung ein N und ein E (also keine VZW)!