Die Umkehrfunktion zur Funktion $f(x)$ wird meist mit $f^{-1}(x)$ benannt.
Wird eine Funktion mit ihrer Umkehrfunktion verkettet erhält man die Identität $y=x$.
Es gilt also $f\left(f^{-1}(x)\right)=x$ und $f^{-1}\left(f(x)\right)=x$.
Beispiel $f^{-1}(x)=\sqrt{x}$ somit ist $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$
da $f(x)=x^2 \Rightarrow f'(x)=2x$ und $(2x)\circ (\sqrt{x}) = 2\sqrt x$.
Der Kehrwert $\dfrac{1}{2\sqrt x}$ ist somit die Ableitung von $\sqrt x$.
Beispiele
Finde die Ableitungen folgender Umkehrfunktionen:
$f^{-1}(x)=\sin^{-1}(x)=\arcsin(x)$
Lösung:
$\begin{array}{r@{\ =\ }l}
\left(\sin\left({\arcsin(x)}\right) \right)' & x' \\[1mm]
\cos\left(\arcsin(x)\right) (\arcsin(x))' & 1 \\[1mm]
(\arcsin(x))' & \frac{1}{\cos(\arcsin(x))}\\
\end{array}
$
da $\sin^2(x)+\cos^2(x) = 1$ ist und somit $\cos(x) = \sqrt{1-\sin^2(x)}$ kann man das Ergebnis noch vereinfachen.
$\begin{array}{r@{\ =\ }l}
(\arcsin(x))' & \frac{1}{\sqrt{1-\sin^2(\arcsin(x))}}\\[1mm]
(\arcsin(x))' & \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\[1mm]
\end{array}$
$f^{-1}(x)=\cos^{-1}(x)=\arccos(x)$
Lösung:
$\begin{array}{r@{\ =\ }l}
\left(\cos(\arccos(x)) \right)' & x' \\[1mm]
-\sin\left(\arccos(x)\right) (\arccos(x))' & 1 \\[1mm]
(\arccos(x))' & -\frac{1}{\sin(\arccos(x))}\\
\end{array}
$
da $\sin^2(x)+\cos^2(x) = 1$ ist und somit $\sin(x) = \sqrt{1-\cos^2(x)}$ kann man das Ergebnis noch vereinfachen.