Ableitungsregeln für Polynom-Funktionen

Lineare Skalierung

Gegeben ist die Funktion $g(x)=a\cdot f(x)$ mit $a\in R$

Die Ableitung ist:
$g'(x) = \lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}$ $= \lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{a\cdot f(x+h)-a\cdot f(x)}{h}$ $=\lim\limits_{h\rightarrow 0}a\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ $=a\cdot\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ $= a\cdot f'(x)$

Somit ist die Ableitung von $af(x)$ gleich $a$ mal die Ableitung von $f(x)$
Also: $\left(af(x)\right)'= a f'(x)$

Merke: $(af(x))'=af'(x)$

Beispiele:
$\begin{array}{l|l} \text{Funktion} & \text{Ableitung} \\\hline x^2 & 2x \\ \frac 1 2 x^2 & \frac 1 2 2x = x\\ 2 x^2 & 2\cdot 2x = 4x\\ 5x^2 & 10x\\ 3x & 3\cdot 1\\ \end{array}$

Verschiebung in $y$-Richtung

Gegeben ist $g(x)= f(x)+b$ sie ist die um $b$ in $y$-Richtung verschobene Funktion $f$.

$g'(x) = \lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}$ $= \lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)+b-(f(x)-b)}{h}$ $=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)+b-f(x)-b}{h}$ $= f'(x)$

Eine Verschiebung in $y$-Richtung hat keinen Einfluss auf die Ableitung, da die Steigung gleich bleibt.

Merke: $\left(f(x)+b\right)'=f'(x)$.

Beispiele:
$\begin{array}{l|l} \text{Funktion} & \text{Ableitung} \\\hline 2x^2+3 & 4x \\ 2x^2+198 & 4x \\ 2x+1 & 2\\ \end{array}$

Summen

Gegeben ist $g(x)=f(x)+p(x)$, welche die Summe aus $f$ und $p$ ist.

$\begin{array}{l@{=}l} g'(x) & \lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h} \\ & \lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)+p(x+h)-(f(x)+p(x))}{h} \\ &\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)+p(x+h)-f(x)-p(x)}{h} \\ &\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)+p(x+h)-p(x)}{h} \\ &\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}+\frac{p(x+h)-p(x)}{h}\\ &\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}+\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{p(x+h)-p(x)}{h}\\ &f'(x)+p'(x)\\ \end{array}$

Merke: Die Ableitung einer Summe ist die Summe der Ableitungen:
$(f+g)'=f'+g'$

Beispiele:
$\begin{array}{l|l} \text{Funktion} & \text{Ableitung} \\\hline x^2+3x & 2x+3 \\ x^2+2x^2 & 2x+4x=6x\\ \end{array}$

Steigung von $x^n$

Die Basisfunktion aller Polynome in Normalform sind $x^n$ mit $n\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}$.
Statt für jede Hochzahl $n$ eine eigene Regel zu lernen, verwenden wir eine für alle $n$.

$\left(x^n\right)'=n\cdot x^{n-1}$

Merke: $\left(x^n\right)'=n\cdot x^{n-1}$

Beispiele:
$\begin{array}{l|l} \text{Funktion} & \text{Ableitung} \\\hline \ldots&\ldots\\ \frac{1}{x^2}=x^{-2} & -2x^{-3}=-\frac{2}{x^3}\\ \frac{1}{x}=x^{-1} & -1x^{-2}=-\frac{1}{x^2}\\ x^1 & 1x^0=1 \\ x^2 & 2x^1=2x\\ x^3 & 3x^2\\ x^4 & 4x^3\\ \ldots&\ldots\\ x^{100} & 100x^{99} \\ \ldots&\ldots\\ x^n & nx^{n-1}\\ \end{array}$