Normalen
Eine Normale schneidet eine Funktion $f$ senkrecht.
Die Normale in $P\big(x_0\mid f(x_0)\big)$ an $f(x)$
hat die Steigung $m=-\frac{1}{f'(x_0)}$.
Mit der PSF ($y=m(x-x_0)+y_0$) kann man die
Normale leicht aufstellen:
$n(x)=-\dfrac{1}{f'(x_0)}(x-x_0)+f(x_0)$
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Geben Sie die Normale an den Graph von $f(x)=x^3-x+1$ bei $x=1$ an.
Lösung:
$f(1)=1$
$f'(x)=3x^2-1$ und $f'(1)=2$
$n(x)=-\frac12(x-1)+1 = -\frac12x+\frac32$
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Geben Sie die Normale an den Graph von $f(x)=2x^2-3x$ in $P(-2\mid 5)$ an.
Lösung:
$f'(x)=4x-3$ und $f'(-2)=-11$
$n(x)=-\frac1{-11}(x-(-2))+5 =
=\frac{1}{11}x +\frac{57}{11}$
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Die Normale an den Graph von $f(x)=x^2$ in $P(2\mid 4)$
schneide den Graph in einem weiteren Punkt.
Geben Sie diesen an.
Lösung:
$f'(x)=2x$ und $f'(2)=4$
$n(x)=-\frac1{4}(x-2)+4 =
=-\frac{1}{4}x +\frac{18}{4}$
$\begin{array}{rcl}
n(x)&=&f(x)\\
-\frac{1}{4}x +\frac{18}{4}&=&x^2\\
0&=&x^2+\frac{1}{4}x -\frac{18}{4}\\
x_1&=&2\\
x_2&=&-\frac{9}{4}
\end{array}$
In $S\left(-\frac84\mid \frac{81}{16} \right)$ schneidet die
Normale den Graph von $f$ nochmals.