< Lokale und globale Extrema
Wendepunkte bestimmen >

Optimierungsaufgaben

Bei vielen Problemstellungen ist ein Optimum gefragt.
Es kann ein Minimum (z.B. kürzester Weg, geringste Kosten) oder ein Maximum (z.B. größtes Volumen, größter Gewinn) sein.
Bei Optimierungsaufgaben ist meistens keine Funktion für die zu optimierende Größe (wie Weglänge, Volumen, Gewinn) gegeben.
Diese muss erst erstellt werden.
Meistens ist ein Definitionsbereich gegeben (Wege können z.B. nicht negativ sein, Produktionsmengen sind nicht beliebig steigerbar, ...).
Daher müssen neben den lokalen Extrema auch die Randwerte (Funktionswerte am Anfang und Ende des Definitionsbereich) überprüft werden.
Ist der Wert am Rande des Definitionsbereich besser als das lokale Extrema, so ist dies natürlich auch das Optimum.
Man spricht dann vom globalen Optimum.
Ein Beispiel ist die Schachtel aus Klasse 11.
Allgemeines Vorgehen:
  • Zielfunktion aufstellen:
    Aus den Angaben modelliert man eine Funktion, welche als Funktionswert die zu optimierende Größe hat
    und als $x$-Wert die freie Variable.
    Wird der Radius einer Dose mit fester Volumen gesucht,
    so dass das die Oberfläche minimal wird,
    braucht man eine Funktion $V(r)$, die für einen Radius $r$ die Oberfläche angibt.
  • Lokale Extrema ermitteln:
    Dies sind Hochpunkte, wenn das Maximum oder Tiefpunkte, wenn das Minimum gesucht wird.
    Man bestimmt Sie anhand der Zielfunktion.
    Also Zielfunktion ableiten und Null setzen. Z.B. $V'(r)=0$.
    Dann überprüfen man ob es ein Hoch- oder Tiefpunkt ist.
  • Randwerte überprüfen:
    Ist der Definitionsbereich ein Intervall, wie z.B. $r\in[0;\ 10]$, so muss man überprüfen,
    ob $V(0)$ oder $V(10)$ evtl. größer sind als das lokale Extremum.
Beispiele
  1. Gegeben: Der Graph der Funktionen $f(x)=-x^2+5x-2$ ist $K_f$
    Gegeben: und der Graph von $g(x)=\frac12x^3-\frac52x^2+2x+2$ ist $K_g$.
    Gesucht: Der größte Abstand zwischen $K_f$ und $K_g$ für $x\in[1;\ 4]$
    Lösung:
    • Zielfunktion: $a(x)=f(x)-g(x)$
      $a(x)=-x^2+5x-2-(\frac12x^3-\frac52x^2+2x+2)$
      $a(x)=-\frac12x^3 +\frac32x^2+3x-4$
      Es interessiert der Abstand, also eigentlich dessen Betrag.
      Aber wenn wir Tief- und Hochpunkte bestimmen reicht das. Denn ein großer negativer Abstand wäre dann der Tiefpunkt.
      Das ist vor allem wichtig, wenn man die Zielfunktion als $a(x)=g(x)-f(x)$ aufstellt, da hier $a(x)\lt 0 $ ist.
    • Extrema: $a'(x)=-\frac32x^2 +3x+3$
      $a''(x)=-3x +3$
      $a'(x)=0$
      $0=-\frac32x^2 +3x+3$
      $x_{1,2} = \frac{-3\pm\sqrt{3^2-4\left(-\frac32\right)3}}{-3}$
      $x_1=-0{,}732$
      $x_2=2{,}732$
      Nur $x_2$ liegt im Intervall $[1;\;4]$
      $a''(2{,}732)\lt 0$ somit ist ein Hochpunkt bei $x_2$ (was aber eigentlich egal ist)
      $a(2{,}732)=5{,}196$
    • Randwerte:
      $a(1)=0$ und $a(4)=0$
      Beide sind kleiner als der Abstand bei $x_2$.
      Somit ist der maximale Abstand bei $x_2=2{,}732$ mit $5{,}196LE$
    Die Graphen der Funktionen
    $K_f$ in blau und $K_g$ in rot.
    Der gültige Bereich ist grün hinterlegt.
    Die Graphen der Funktionen mit dem maximalen Abstand
    Maximaler Abstand zwischen $K_f$ und $K_g$
  2. Bestimmen Sie den maximalen Inhalt des Dreiecks mit den Eckpunkten $P1(0\mid 0), P2(u\mid 0)$ und $P3(u\mid f(u))$.
    Mit $f(x)=-x^2+4$ und $u\in[0;2]$
    Skizze
    Skizze
    Lösung
    • Zielfunktion: $A(u)=\frac12\cdot u\cdot f(u)$
      $A(u)=\frac12\cdot u\cdot (-u^2+4)$
      $A(u)=-\frac12\cdot u^3+2 u$
    • Extrema: $A'(u)=-\frac32\cdot u^2+2$ und $A''(u)=-3\cdot u$
      $\begin{array}{rcl} A'(u)&=&0\\ 0&=&-\frac32\cdot u^2+2\\ -2&=&-\frac32\cdot u^2\\ \frac43&=&u^2\\ \pm\sqrt{\frac43}&=&u\\ A''\left(\sqrt{\frac43}\right)&<&0\\ A''\left(-\sqrt{\frac43}\right)&>&0\\ \end{array}$

      Bei $v=-\sqrt{\frac43}$ ist ein Tiefpunkt aber $-\sqrt{\frac43}\notin\mathbb{D}$
      Bei $v=\sqrt{\frac43}$ ist ein Hochpunkt mit $A\left(\sqrt{\frac43}\right)=1{,}54\,LE^2$
    • Randwerte $A(0)=0$ und $A(2)=0$
      Somit liegt das Maximum bei: $v=\sqrt{\frac43}$ mit $A\left(\sqrt{\frac43}\right)=1{,}54\,LE^2$
  3. Eine zylinderförmige Dose mit 500ml (500cm³) soll möglichst wenig Blech verbrauchen.
    D.h. wir wollen eine möglichst kleine Oberfläche.
    • Zielfunktion:
      Das Volumen ist $500\,cm^3 = \pi\cdot r^2\cdot h$,
      somit ist $h= \dfrac{500}{\pi\cdot r^2}$

      Unsere Zielfunktion ist die Oberfläche.
      Hier ersetzen wir $h$ durch den Term von eben
      um nur noch eine Variable $r$ haben:
      $O(r) = 2\pi\cdot r^2+2\pi\cdot r\cdot h = 2\pi\cdot r^2+2\pi\cdot r\cdot \frac{500}{\pi\cdot r^2}$
      Vereinfacht: $O(r)=2\pi\cdot r^2+ \frac{1000}{r}$ mit $r>0$.
      Ableitung: $O'(r)=4\pi\cdot r - \frac{1000}{r^2}$
      Extrema
      $\begin{array}{rcll} O'(r)&=&0\\ 0&=&4\pi\cdot r - \frac{1000}{r^2}&\ |\cdot r^2\\ 0&=&4\pi\cdot r^3 - 1000&\ |\ +1000\\ 1000&=&4\pi\cdot r^3 &\ |\ :(4\pi)\\ \frac{250}{\pi}&=&r^3 &\ |\ \sqrt[3]{\dots}\\ r&=&4{,}30 \end{array}$
      Geht $r\rightarrow 0$ geht $O$ gegen $\infty$.
      Genau so bei $r\rightarrow \infty$.
      Somit ist die kleinste Oberfläche bei $r=4{,}3\,cm$ mit $O(4{,}3)=348{,}73\,cm^2$