< Summenzeichen

Stammfunktion

Die Stammfunktion $F(x)$ wird auch unbestimmtes Integral genannt.
Man erhält $F(x)$ durch integrieren der Funktion $f(x)$.
Integrieren ist die Umkehrung der Ableitung und wird umgangssprachlich auch aufleiten genannt.
Man scheibt:

$$F(x)=\int f(x)\, dx$$

Das Symbol $\int$ liest man Integral.
Das $dx$ gibt an, dass $x$ die Variable der Funktion ist.
Es kommt von der Ableitungsschreibweise $f'(x)=\frac{df}{dx}$.

Integrale von Grundfunktionen

f(x)	F(x)
$c $	$ c\,x$	mit $c\neq 0$
$x^n $	$ (n+1)x^{n+1}$	$n\neq -1$
$x^{-1}=\frac1x$	$ \ln(x)$
$e^x $	$ e^x$
$\sin(x)$	$ -\cos(x)$
$\cos(x)$	$ \phantom{-} \sin(x)$

Integrationsregeln

1. Hauptsatz der Integralrechnnung
$F'(x)=f(x)$
Integrationskonstante
$\int f(x)\,dx = F(x)+c$
Faktorregel:
$\int c\cdot f(x)\;dx = c\cdot \int f(x)\;dx$
Summenregel:
$\int f(x)\pm g(x)\;dx = \int f(x)\;dx \pm \int g(x)\;dx$
Substitution:
$\int f(m\,x+b) \;dx = \frac1m F(m\,x+b)$
oder mit $u=mx+b$:
$\int \frac1m f(u) \;du = \frac1m \int f(u)\; du$

Integrationskonstante

Wenn man eine Funktion der Form $f(x)=c$ ableitet, so erhält man $f'(x)=0$.
Bei der Aufleitung von $f'(x)$ kann man diese Konstante nicht mehr herstellen.
Daher ist die Stammfunktion nicht eindeutig, den

$f(x)=2x+1$ hat die Ableitung $f'(x)=2$ und
$g(x)=2x+5$ hat die Ableitung $g'(x)=2$

Daher ist die Stammfunktion $F(x)=\int 2\;dx = 2x+c$.
Die $2x$ sind die Aufleitung der 2. Das $+c$ ist die Integrationskonstante,
also die Konstante, die bei der Ableitung wegfällt.

Dieses $c$ kann nur eindeutig bestimmt werden,
wenn man noch einen Punkt auf der Stammfunktion festlegt.

Beispiel

gegeben: $f(x)=3$
gesucht: Die Stammfunktion von $f(x)$ die durch $P(1\mid 2)$ geht.
Lösung:

$F(x)=\int f(x)\; dx = \int 3\;dx = 3x+c$
$P$ einsetzen: $F(1)=2$
$3\cdot 1+c = 2$ ergibt $c=-1$

Die gesuchte Stammfunktion ist: $F(x)=3x-1$

Eigenschaften der Stammfunktion

Da die Stammfunktion $F(x)$ die Aufleitung der Funktion $f(x)$ ist,
ist $f(x)$ die Ableitung von $F(x)$. Daraus ergeben sich folgende Eigenschaften:

$F(x)$ hat ein Extrema, wenn $f(x)$ eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel hat.
$F(x)$ hat einen Wendepunkt, wenn $f(x)$ ein Extrema hat.
Die Tangenten-Steigung von $F(x)$ ist immer der Funktionswert von $f(x)$