Nullstellen des Kosinus
Die Gleichung $\cos(x)+d = 0$ hat- zwei Lösungen, wenn $-1\lt d\lt 1$ gilt, also wenn $d$ zwischen -1 und 1 liegt.
- eine Lösung, wenn $d=-1$ oder $d=1$ ist.
- keine Lösung, wenn $d\lt-1$ oder $d\gt 1$ ist.
Da der Kosinus symmetrisch zur $y$-Achse ist, bekommt man die zweite Nullstelle in der Periode mit $-x_0$.
Weitere Nullstellen erhält man indem man zu den Nullstellen eine Periodenlänge hinzuaddiert.
Beispiel:
$f(x)=\cos(\pi x)$ hat die erste Nullstelle bei $x=\cos^{-1}(0)=\frac\pi2$.
Die zweite Nullstelle liegt bei $x=-\frac\pi2$.
Alle Nullstellen: $x=\pm\frac\pi2+2k\pi$.
Die zweite Nullstelle liegt bei $x=-\frac\pi2$.
Alle Nullstellen: $x=\pm\frac\pi2+2k\pi$.
Nullstellen von $y$ verschobenem Kosinus
Ist der Kosinus in $y$-Richtung verschoben, so ergibt sich die Nullstelle durch Nullsetzen.Formt man $\cos(x)+d=0$ um, erhält man $\cos(x)=-d$.
Die erste Lösung in einer Periode erhält man mittels seiner Umkehrfunktion $\cos^{-1}(-d)$,
die zweite mittels $-\cos^{-1}(-d)$.
Das kann man zu $\pm\cos^{-1}(-d)+2k\pi$ zusammenfassen:
Beispiel:
Einheitskeis (um 90° gedreht) für $cos(x)=\frac12$.
Bogenmaß in rot, Kosinuswert in orange.
$\begin{array}{rcll}
\cos(x)-\frac12 &=& 0 & \ |\ -\frac12 \\
\cos(x) &=& \frac12 & \ |\ \pm\cos^{-1}(\dots) \\
x &=& \pm\cos^{-1}(\frac12)+2k\pi \\
x_1 &=& \phantom{-}\frac{\pi}{3}+2k\pi\\
x_2 &=& -\frac{\pi}{3}+2k\pi
\end{array}$
Einheitskeis (um 90° gedreht) für $cos(x)=\frac12$.
Bogenmaß in rot, Kosinuswert in orange.
Nullstellen der allgemeinen Kosinus-Funktion
Die Funktion $f(x)=a\cdot\cos(b(x+c))+d$ ist in $x$ und $y$ Richtung gestreckt und verschoben.
Die Berechnung der Nullstellen läuft aber genau gleich wie bei allen Gleichungsumformungen.
Nur bei der Anwendung von $\cos^{-1}$ müssen wir ein $\pm$ verwenden:
Beispiele:
Die Berechnung der Nullstellen läuft aber genau gleich wie bei allen Gleichungsumformungen.
Nur bei der Anwendung von $\cos^{-1}$ müssen wir ein $\pm$ verwenden:
$\begin{array}{rcll}
a\cdot\cos(b(x+c))+d &=& 0 & \ |\ -d \\
a\cdot\cos(b(x+c)) &=& -d & \ |\ :a \\
\cos(b(x+c)) &=& -\frac da & \ |\ \pm\cos^{-1}(\dots) \\
b(x+c) &=& \pm\cos^{-1}(-\frac da)+2k\pi & \ |\ :b \\
x+c &=& \pm\frac{\cos^{-1}(-\frac da)}b+k\frac{2\pi}{b} & \ |\ -c \\
x &=& \pm\frac{\cos^{-1}(-\frac da)}b-c+k\frac{2\pi}{b} & \\
\end{array}$
- Gesucht sind die Nullstellen von $f(x)=2\cos(3x-1)+1$
Lösung:$\begin{array}{rcll} 2\cos(3x-1)+1&=&0 & |-1\\ 2\cos(3x-1)&=&-1 & |:2\\ \cos(3x-1)&=&-\frac12 & | \pm\cos^{-1}\\ 3x-1 &=& \pm\frac{2\pi}3+2k\pi & | +1 \\ 3x &=& 1\pm\frac{2\pi}3+2k\pi & | :3 \\ x &=& \frac13\pm\frac{2\pi}9+k\frac{2\pi}{3} & \\ \end{array}$
Schaubild von $f(x)$ - Gesucht sind die Nullstellen von $f(x)=-3\cos(\pi x)+1$
Lösung:$\begin{array}{rcll} -3\cos(\pi x)+1&=&0 &|-1\\ -3\cos(\pi x) &=&-1 &|:(-3)\\ \cos(\pi x) &=&\frac13 &| \pm\cos^{-1}\\ \pi x &=& \pm\cos^{-1}(\frac13)+2k\pi & | :\pi\\ x &=& \pm0{,}3918+2k \end{array}$
Schaubild von $f(x)$ - Gesucht sind die Nullstellen von $f(x)=\frac12\cos(x-3)-1$
Lösung:$\begin{array}{rcll} \frac12\cos(x-3)-1 &=& 0 &|+1\\ \frac12\cos(x-3) &=& 1 &|\cdot 2\\ \cos(x-3) &=& 2 &|\pm\cos^{-1}\\ x-3 &=&\pm\cos^{-1}(2) \end{array}$Keine Lösung, da $\cos^{-1}(2)$ unlösbar ist.Man sieht es schneller daran, dass die $y$-Verschiebung betragsmäßig größer als die Amplitude ist.
Es wird um $-1$ verschoben (also eins nach unten), bei einer Amplitude von $\frac12$.
Und es ist $|-1|\gt \left|\frac12\right|$.
Schaubild von $f(x)$ - Gesucht sind die Nullstellen von $f(x)=\cos(x)+1$
Lösung:$\begin{array}{rcll} \cos(x)+1 &=& 0 & |-1\\ \cos(x) &=& -1 & | \pm\cos^{-1}\\ x &=&\pm\cos^{-1}(-1)+2k\pi \\ x &=&\pm\pi+2k\pi\\ x&=&=(2k\pm 1)\pi \end{array}$Somit sind in einer Periode die Nullstellen:
$x_1=-\pi\approx -3{,}1415 $ und
$x_2=\phantom{-}\pi\approx \phantom{-}3{,}1415$
Schaubild von $f(x)$