Volumen
Gebeben sind die nicht parallelen Vektoren $\vec a$ und $\vec b$.Die Fläche im Parallelogram, das $\vec a$ und $\vec b$ aufspannen ist $|\vec a\times \vec b|$.
parallelogrammArea
Fläche des Parallelogramms von $\vec a$ und $\vec b$
Das Dreieck hat die Fläche eines halben Parallelogramms
Spatvolumen
Drei Vektoren spannen einen Spat (Parallelepited) auf.Dies ist ein Körper der von Parallelogrammen begrenzt ist.
$h=|\vec v_3|\cos(\beta)$
$V=|\vec v_1\times\vec v_2|\cdot|\vec v_3|\cos(\beta)$
$V=|\big(\vec v_1\times\vec v_2\big)\cdot\vec v_3|$
Pyramidenvolumen
Die rechteckige Pyramide hat $\frac13$ des Volumens des Spats:
$V=\frac13|\big(\vec v_1\times\vec v_2\big) \cdot \vec v_3|$
$V=\frac13|\big(\vec v_1\times\vec v_2\big) \cdot \vec v_3|$
Die dreieckige Pyramide hat $\frac13\cdot\frac12=\frac16$ des Volumens des Spats:
$V=\frac16|\big(\vec v_1\times\vec v_2\big) \cdot \vec v_3|$
$V=\frac16|\big(\vec v_1\times\vec v_2\big) \cdot \vec v_3|$
Quader
Sind $\vec v_1, \vec v_2$ und $\vec v_3$ senkrecht
zueinander ($\vec v_1$ senkrecht zu $\vec v_2$ und $\vec v_3$ u.s.w.),
so spannen sie einen Quader auf.
Hier kann man das Volumen als Spat berechnen oder man
rechnet
\[V=|\vec v_1|\cdot |\vec v_2|\cdot |\vec v_3| \]
Sind $\vec v_1, \vec v_2$ und $\vec v_3$ zusätzlich gleich lang,so spannen sie einen Quader auf.
es gilt also $|\vec v_1|=|\vec v_2|=|\vec v_3|$, so ist $V=|\vec v_1|^3$.