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Die Matrix

Eine Matrix besteht aus $m$ Zeilen und $n$ Spalten von Zahlen und wird $m\times n$-Matrix genannt.
Matrizen werden mit Großbuchstaben benannt.
$A= \left( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\ \end{array} \right) $
Jedes $a_{ij}$ heißt Element der Matrix und hat als Index zuerst die Zeile und dann die Spalte,
d.h. die Zahl $a_{34}$ ist in der 3. Zeile und 4. Spalte.
Alle Elemente einer Spalte heißen Spalten oder Spaltenvektor.
Alle $a_{i2}$ mit $1\leq i\leq m$ gehören zur 2. Spalte.
Alle Elemente einer Zeile heißen Zeile oder Zeilenvektor.
$a_{31},\ldots, a_{3n}$ sind der 3. Zeilenvektor.
Eine Matrix, in der alle Elemente 0 sind, heißt Null-Matrix.
Beispiele:
  1. Eine $2\times 2$-Matrix: $A=\left(\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 2 & 8 \\ \end{array}\right)$
  2. Eine $2\times 3$-Matrix: $B=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 8 & -2\\ \end{pmatrix}$
  3. Eine $1\times 4$-Matrix: $\left(\begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 3 & 4\\ \end{array}\right)$
  4. Eine $4\times 1$-Matrix: $\left(\begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4\\ \end{array}\right)$
  5. Die kleinste Matrix ist eine $1\times1$-Matrix: $(1),\ (7), ...$

Besondere Matrix-Dimensionen

Quadratische Matrizen
Eine Matrix ist eine quadratische Matrix, wenn sie gleich viele Spalten wie Zeilen hat.
Also jede $n\times n$-Matrix.
Die Hauptdiagonale einer $n\times n$-Matrix sind die Elemente $a_{ii}$.
Eine Einheitsmatrix ist quadratisch und hat auf der Hauptdiagonalen Einsen und sonst nur 0en.
Beispiele:
  1. Eine $2\times 2$-Matrix:
    $\left(\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 2 & 8 \\ \end{array}\right)$
    Hauptdiagonale: 1, 8
  2. Eine $2\times 2$-Einheitsmatrix:
    $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$
  3. Eine $3\times 3$-Einheitsmatrix:
    $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix}$
  4. Eine $2\times 2$-Matrix:
    $\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 2 & a \\ \end{pmatrix}$
    Das Produkt der Hauptdiagonalen ist 6.
    Bestimmen Sie $a$.
    Lösung: $3\cdot a=6 \ra a=2$
Vektoren
Eine Matrix mit nur einer Spalte heißt auch Spaltenvektor,
eine Matrix mit nur einer Zeile heißt auch Zeilenvektor.
Vektoren werden mit Kleinbuchstaben mit Pfeil darüber benannt z.B. $\vec a, \vec b$.
Beispiel:
  1. $\vec x = \vek123$
  2. Die Matrix $A$ besteht aus den Zeilenvektoren
    $ a_1=\m{1&0&1},\ a_2=\m{0&7&1} $,
    d.h. $A=\m{1&0&1\\0&7&1}$