Prognoseintervall

Hat man die Wahrscheinlichkeit $p$ gegeben und ist die Größe normalverteilt,
kann man mit einem Prognoseintervall (Vorhersageintervall) ein Intervall bestimmen,
indem eine Stichprobe mit Wahrscheinlichkeit von $x$ liegt.

Man schließt von der Grundgesamtheit auf die Stichprobe.
Liegt das Stichprobenergebnis im Prognoseintervall
ist die Grundgesamtheit mit der Stichprobe verträglich.

Beispiel 1:

Ein Würfel wird 200 mal geworfen.
Gilt die Laplace-Vermutung?

Ja da $\sigma=\sqrt{200\cdot\frac16\cdot\frac56}=5{,}27\gt 3$.

Wie viele 6er erwarten wir im Mittel?

$\mu=200\cdot \frac16=33{,}33$

Wie viele 6er erwarten wir mit einer Wkt von

$68{,}3\%$:
Prognoseintervall: $[\mu-\sigma;\;\mu+\sigma]=[28{,}06;\; 38{,}6]$
$90\%$:
Prognoseintervall: $[\mu-1{,}64\,\sigma;\;\mu+1{,}64\,\sigma]=[24{,}69;\; 41{,}97]$
$95\%$:
Prognoseintervall: $[\mu-1{,}96\,\sigma;\;\mu+1{,}96\,\sigma]=[23{,}00;\; 43{,}66]$
$99\%$:
Prognoseintervall: $[\mu-2{,}58\,\sigma;\;\mu+2{,}58\,\sigma]=[19{,}73;\; 46{,}93]$
$100\%$:
Prognoseintervall: $[0;\;200]$

Beispiel 2:

Eine Firma stellt Lippenstifte her.
5% der hergestellten Lippenstifte sind fehlerhaft.
Eine Filiale erhält einen Karton mit 200 Lippenstiften.
Die fehlerhaften Lippenstifte sind binomialverteilt mit $B_{200;\;0{,}05}$.

Darf hier mit der Normalverteilung angenähert werden?
Ja da $\sigma=\sqrt{200\cdot0{,}05\cdot0{,}95}\approx 3{,}08\gt 3$
Mit $\mu=200\cdot 0{,}05=10$ ist, ist $\varphi_{10;\,3{,}08}$ eine gute Näherung
Wie groß ist das 99% Prognoseintervall?
$ [\mu-2{,}58\sigma;\;\mu-2{,}58\sigma] =[10-2{,}58\cdot3{,}08 ;\;10-2{,}58\cdot3{,}08]\\ =[2{,}056;\;17{,}946] $
Mit 99%-iger Wkt sind in der Lieferung zwischen 2 und 18 fehlerhafte Lippenstifte.
Das 90%-Vertrauensintervall ist $[ 4{,}95 ;\; 15{,}05]$.
In der Lieferung sind nur 3 defekte Lippenstifte.
Ist die Anzahl fehlerhafte Lippenstifte dem 90%-Vertrauensintervall vereinbar?

Nein da $3\lt 5$ ist.
Aber alles zwischen 5 und 15 ist verträglich mit dem 90%-Vertrauensintervall.