Lage Ebene zu Ebene in Koordinatenform
Liegen zwei Ebenen in Koordinatenform vor
$E_1:\ n_{11}x_1+n_{12}x_2+n_{13}x_3 = k_1$
$E_2:\ n_{21}x_1+n_{22}x_2+n_{23}x_3 = k_2$
Man erhält das unterbestimmte LGS:
$\left(\begin{array}{rrr|r}
n_{11} & n_{12} & n_{13} & k_1\\
n_{21} & n_{22} & n_{23} & k_2
\end{array}\right)$
Fall 1: parallele Ebenen
Hier liefert das LGS:
$\left(
\begin{array}{rrr|r}
n_{11}&n_{12}& n_{13}& k_1\\
0&0&0 & c\neq 0
\end{array}
\right)$
Da die zweite Zeile unlösbar ist, hat die Gleichung $E_1=E_2$ keine Lösung.
Bei zwei Ebenen ist dies nur möglich, wenn sie parallel sind.
Fall 2: identische Ebenen
Hier liefert das LGS:
$\left(
\begin{array}{rrr|r}
n_{11}&n_{12}& n_{13}& k_1\\
0&0&0 & 0
\end{array}
\right)$
Da die zweite Zeile ist immer wahr, somit muss $E_2$ ein Vielfaches von $E_1$ sein.
Bei zwei Ebenen heißt dies, dass sie identisch sind.
Fall 3 Schnittgerade
So löst man dieses Gleichungssystem und erhält:
$\left(\begin{array}{rrr|r}
n_{11} & n_{12} & n_{13} & k_1\\
0 & a & b & c
\end{array}\right)$
hier kann man den Parameter vor $x_3$ frei wählen.
Beispiel 1:
$E_1:\ x_1+2x_2+x_3 = 2$
$E_1:\ x_1+4x_2 = 1$
$\left(\begin{array}{rrr|r}
1 & 2 & 1 & 2\\
1 & 4 & 0 & 1
\end{array}\right)$
$\sim
\left(\begin{array}{rrr|r}
1 & 2 & 1 & 2\\
0 & 2 &-1 &-1
\end{array}\right)$
$x_3$ frei wählbar
$\sim
\left(\begin{array}{rrr|r}
1 & 2 & 1 & 2\\
0 & 2 &-1 &-1\\
0 & 0 & 1 & r
\end{array}\right)$
$\sim
\left(\begin{array}{rrr|r}
1 & 2 & 0 & 2-r\\
0 & 2 & 0 &-1+r\\
0 & 0 & 1 & r
\end{array}\right)$
$\sim
\left(\begin{array}{rrr|r}
1 & 0 & 0 & 3-2r\\
0 & 1 & 0 &-\frac12+\frac r2\\
0 & 0 & 1 & r
\end{array}\right)
$
Wir haben also:
$x_1 = 3-2r$
$x_2 = -\frac12+\frac r2$
$x_3 = r$
also $g:\ \vec x = \vek{3}{-\frac12}{0}+r\vek{-2}{\frac12}{1}$
Beispiel 2:
$E_1:\ 2x_2+x_3 = 2$
$E_1:\ x_2+x_3 = 4$
$\left(\begin{array}{rrr|r}
0 & 2 & 1 & 2\\
0 & 1 & 1 & 4
\end{array}\right)$
Hier ist $x_1$ frei wählbar.
$
\left(\begin{array}{rrr|r}
1 & 0 & 0 & t\\
0 & 2 & 1 & 2\\
0 & 1 & 1 & 4
\end{array}\right)$
$\sim
\left(\begin{array}{rrr|r}
1 & 0 & 0 & t\\
0 & 2 & 1 & 2\\
0 & 0 & 1 & 6
\end{array}\right)$
$\sim
\left(\begin{array}{rrr|r}
1 & 0 & 0 & t\\
0 & 2 & 0 &-4\\
0 & 0 & 1 & 6
\end{array}\right)$
$\sim
\left(\begin{array}{rrr|r}
1 & 0 & 0 & t\\
0 & 1 & 0 &-2\\
0 & 0 & 1 & 6
\end{array}\right)$
Wir haben also:
$x_1 = t$
$x_2 = -2$
$x_3 = 6$
also $g:\ \vec x = \vek{0}{-2}{6}+t\vek100$
Beispiel 3:
$E_1:\ 2x_1+2x_2+x_3 = 0$
$E_1:\ 2x_1+2x_2+4x_3 = 9$
$\left(\begin{array}{rrr|r}
2 & 2 & 1 & 0\\
2 & 2 & 4 & 9
\end{array}\right)$
$\sim\left(\begin{array}{rrr|r}
2 & 2 & 1 & 0\\
0 & 0 & 3 & 9
\end{array}\right)$
Hier ist $x_2$ frei wählbar.
$
\left(\begin{array}{rrr|r}
2 & 2 & 1 & 0\\
0 & 1 & 0 & s \\
0 & 0 & 3 & 9
\end{array}\right)$
$\sim
\left(\begin{array}{rrr|r}
2 & 2 & 0 & -3\\
0 & 1 & 0 & s \\
0 & 0 & 3 & 9
\end{array}\right)$
$\sim
\left(\begin{array}{rrr|c}
2 & 0 & 0 & -3-2s\\
0 & 1 & 0 & s \\
0 & 0 & 3 & 9
\end{array}\right)$
$\sim
\left(\begin{array}{rrr|c}
1 & 0 & 0 & -\frac32-s\\
0 & 1 & 0 & s \\
0 & 0 & 1 & 3
\end{array}\right)$
Wir haben also:
$x_1 = -\frac32-s$
$x_2 = s$
$x_3 = 3$
also $g:\ \vec x = \vek{-\frac32}{0}{3}+s\vek{-1}10$