Lage Ebene und Gerade

Koordinatenform

Gegeben ist die Ebene $E$ in Koordinatenform und die Gerade $g$ mit
$E:\ n_1x_1+n_2x_2+n_3x_3=z$ und
$g:\ \vec x=\vec p +t\cdot \vec v$.

Hier geht man wie folgt vor:

Die Gerade wandelt man in einen Vektor um
indem man $\vec p +t\cdot \vec v$ zusammenrechnet.
Die so verrechneten Koordinaten der Gerade setzt man in $E$ ein.
Die entstandene Gleichung löst man nach $t$ auf.
Setzt man $t$ in $g$ ein erhält man den Schnittpunkt.

Beispiel

gegeben:
Gerade $g:\ \vec x = \vek102+t\vek12{-1}$ und
Ebene $E:\ 2x_1-3x_2-2x_3=-12$

Lösung:

$\vec g=\vek102+t\vek12{-1}=\vek{1+t}{2t}{2-t}$
$\vec g$ in $E$:
$2(1+t)-3(2t)-2(2-t)=-12$
Nach $t$ auflösen:
$\begin{array}{lrcl} &2(1+t)-3(2t)-2(2-t)&=&-12 \\ \ra& 2+2t-6t-4+2t &=& -12\\ \ra& -2t-2 &=& -12\\ \ra& -2t&=&-10\\ \ra& t&=&5 \end{array}$
$t=5$ in $g$ ergibt:
$S\pkt{6}{10}{-3}$

Mögliche Fälle:

Schnittpunkt: $t$ ist eine Zahl
keine Lösung ($g\parallel E$): $t$ fällt raus und Gleichung unlösbar z.B. $1=0$
Schnittgerade $g\in E$: $t$ fällt raus und Gleichung ist immer wahr $0=0$

Normalenform

Gegeben ist die Ebene $E$ in Koordinatenform $E:\ (\vec x-\vec p)\vec n=0$ und
die Gerade $g$ mit $g:\ \vec x=\vec p +t\cdot \vec v$.
Hier geht man wie folgt vor:

Die Gerade wandelt man in einen Vektor um
indem man $\vec p +t\cdot \vec v$ zusammenrechnet.
Die so verrechneten Koordinaten der Gerade setzt man in $E$ ein.
Man rechnet das Skalarprodukt von $E$ aus.
Die entstandene Gleichung löst man nach $t$ auf.
Setzt man $t$ in $g$ ein erhält man den Schnittpunkt.

Beispiel:
gegeben:

$g:\ \vec x = \vek102+t\vek12{-1}$
$E:\ \left(\vec x-\vek242 \right)\vek{2}{-3}{-2}=0$

Lösung:

$g:\ \vek{1+t}{2t}{2-t}$ in $E$ einsetzen:
$\left(\vek{1+t}{2t}{2-t}-\vek242 \right)\vek{2}{-3}{-2}=0$
Skalarprodukt ausmultiplizieren:
$\vek{t-1}{2t-4}{-t}\vek{2}{-3}{-2}=0$
$2(t-1)-3(2t-4)-2(-t)=0$
Gleichung lösen:
$\begin{array}{lrcl} &2t-2-6t+12+2t&=&0\\ \ra& -2t+10&=&0\\ \ra& t&=&5 \end{array}$
$t=5$ in $g$ ergibt:
$S\pkt{6}{10}{-3}$

Mögliche Fälle: siehe Koordinatenform