Punkte und Vektoren
Ein Punkt $P\pkt123$ hat die Koordinaten $x_1=1; x_2=2; x_3=3$.
Er stellt einen Ort im Raum dar.
Er stellt einen Ort im Raum dar.
Der Aufpunktvektor $\vec p=\overrightarrow{OP}=\vek123$ geht vom
Ursprung $O$ zu Punkt $P$.
Ein Vektor ist eine Verschiebung im Raum.
Ein Vektor ist eine Verschiebung im Raum.
Vektoren kann man addieren und subtrahieren:
$\vec v=\vek123\pm\vek456=\vek{1\pm 4}{2\pm 5}{3\pm 6}$
Der Vektor $\vec v=\vec a+\vec b$ ist das gleiche wie eine Verschiebung
um $\vec a$ und dann um $\vec b$.
Verschiebung um $\vec v = \vec a+\vec b$
Verschiebung um $\vec v = \vec a+\vec b$
Der Vektor von Punkt $A$ zu Punkt $B$ ist $\vec v =\overrightarrow{AB}=
\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$ (Spitze minus Fuß).
Länge und skalieren
Er wird berechnet über $\vekb{x_1}{x_2}{x_3}=\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}$.
Skalieren
Einen Vektor kann man strecken oder stauchen,
indem man ihn mit einem Skalar (einer Zahl) multipliziert:
$\vec w = a\cdot \vec v$ mit $a\in\R\setminus\{0\}$
der Vektor $\vec w$ ist $a$ mal so lang,indem man ihn mit einem Skalar (einer Zahl) multipliziert:
wie $\vec v$ hat aber die gleiche Richtung.
Besondere Vektoren
- Der Nullvektor ist $\vec o =\vek000$.
Er ist das neutrale Element der Verschiebung. - Der Einheitsvektor hat die Länge 1.
Einen Einheitsvektor $\vec v_1$ bekommt man, indem man $\vec v$ mit $\frac{1}{|\vec v|}$ skaliert.
Man spricht hier auch von einem normierten Vektor. - Der Gegenvektor zu $\vec v$ ist $-\vec v$.
Verschiebt man einen Punkt $P$ um $\vec v$ und dann um $-\vec v$ landet man wieder bei $P$.
$\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{BA}$ sind Gegenvektoren.