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Matrixschreibweise >

Polynome in Normalform aufstellen

Eine Polynomfunktion vom Grand $n$ hat die Normalform \[f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_2x^2+a_1x+a_0\] und hat somit $n+1$ unbekannte Parameter $a_i$.
Um eine Polynomfunktion in Normalform aufzustellen benötigt man $n+1$ Gleichungen.
Die Lösung des Gleichungssystems liefert die Parameter $a_i$.
Hinweis: Ist ein Polynom symmetrisch, so gilt bei
  • Ursprungssymmetrie: alle $a_i$ mit geradem $i$ sind 0
  • $y$-Achsen-Symmetrie: alle $a_i$ mit ungeradem $i$ sind 0
Beispiele
  1. Die Funktion $g(x)$ ist vom Grad 3 und symmetrisch zum Ursprung.
    Sie geht durch $P(-1\mid 2)$ und $Q(2\mid 8)$.
    Ansatz: $g(x)=a_3x^3+a_1x$
    $ \begin{array}{lccrrr} P\Rightarrow &g(-1)&=&a_3(-1)^3+&a_1(-1)&=2\\ Q\Rightarrow &g( 2)&=&a_3(2)^3+ &a_1(2) &=8\\ \end{array} $
    $ \begin{array}{rrr@{\quad}l} -a_3&-a_1&=2 &|\ \cdot 8\\ 8a_3&+2a_1&=8 \end{array} $
    $ \begin{array}{rrr@{\quad}l} -a_3& -a_1&=2 \\ &-6a_1&=24 &\Rightarrow a_1=-4 \end{array} $
    $a_1=-4$ in erste Gleichung: $-a_3-(-4)=2\Rightarrow -a_3=-2\Rightarrow =a_3=2$
    $g(x)=2x^3-4x$
    Probe:
    $g(-1)=-2+4=2$ und
    $g(2)=2\cdot 8-4\cdot 2 = 8$
  2. Gesucht ist die Parabel $f(x)$, die durch
    $P_1( 1\mid -1)$, $P_2(-1\mid 7)$ und $P_3( 2\mid 1)$ verläuft.
    Ansatz: $f(x)=ax^2+bx+c$
    $ \begin{array}{cc@{\,}c@{\,}c@{\,}c@{\,}r} \textrm{(I)} & a&+b &+c&=&-1\\ \textrm{(II)} & a&-b &+c&=&7\\ \textrm{(III)}&4a&+2b&+c&=&1 \end{array} \stackrel{\textrm{II'=II$-$I}}{\Longrightarrow} \begin{array}{cc@{\,}c@{\,}c@{\,}c@{\,}r} \textrm{(I)} & a&+b &+c&=&-1\\ \textrm{(II')}& &-2b& &=& 8\\ \textrm{(III)}& 4a&+2b&+c&=&1 \end{array}$
    $\stackrel{\textrm{III'=III$-4$I}}{\Longrightarrow} \begin{array}{cc@{\,}c@{\,}c@{\,}c@{\,}r} \textrm{(I)} & a&+b &+c&=&-1\\ \textrm{(II')} & &-2b& &=& 8\\ \textrm{(III')}& &-2b&-3c&=&5 \end{array} $
    $\stackrel{\textrm{III''=II'$-$III'}}{\Longrightarrow} \begin{array}{cr@{\,}r@{\,}r@{\,}c@{\,}r} \textrm{(I)} & a&+b &+c&=&-1\\ \textrm{(II')} & &-2b& &=& 8\\ \textrm{(III'')}& & &3c&=& 3 \end{array} $
    $ \Rightarrow \begin{array}{cr@{\,}r@{\,}r@{\,}c@{\,}r} \textrm{(I)} & a&+b &+c&=&-1\\ \textrm{(II'')} & & b& &=&-4\\ \textrm{(III''')}& & & c&=& 1 \end{array}$
    $\begin{array}{cr@{\,}r@{\,}r@{\,}c@{\,}r} \textrm{(I')} & a&+b & &=&-2\\ \textrm{(II'')} & & b& &=&-4\\ \textrm{(III''')}& & &\ c&=& 1 \end{array} $
    $\stackrel{\textrm{I''=I'$-$II'}}{\Longrightarrow} \begin{array}{cr@{\,}c@{\,}r} \textrm{(I')} & a&=& 2\\ \textrm{(II'')} & b&=& 4\\ \textrm{(III''')}& c&=& 1 \end{array} $