Polynome in Normalform >

Polynome in Produktform aufstellen

Die Produktform einer Polynomfunktion vom Grad $n$ ist \[f(x)=a(x-n_1)(x-n_2)\dots(x-n_n)\] wobei $n_i$ die Nullstellen sind und $a$ der Leitkoeffizient.
Ist eine Nullstelle eine $k$-fache Nullstelle, so können die gleichen Faktoren zusammengefasst werden: $$f(x)=a(x-n_1)^k(x-n_2)\dots$$
Um die Produktform aufzustellen benötigt man alle Nullstellen und
einen Punkt $P\big(x_0\mid f(x_0)\big)$ mit $f(x_0)\neq 0$.
Man setzt alle Nullstellen ein, $x_0$ für $x$ und $f(x_0)$ für $f(x)$ und löst nach $a$ auf.
Beispiele
  1. Gesucht ist ein Polynom vom Grad 3.
    Die Nullstellen sind $x_1=1, x_2=10$ und $x_3=-4$. Es gilt $f(5)=360$.
    $\begin{array}{rcl} 360&=&a\big(5-1\big)\big(5-10\big)\big(5-(-4)\big)\\ 360&=&a(4)(-5)(9)\\ 360&=&-180a\\ -2 &=&a \end{array}$
    $f(x)=-2(x-1)(x-10)(x+4)$
  2. Das Polynom 4. Grades hat eine 3-fache Nullstelle bei $-2$ und eine einfache bei 1.
    Sie schneidet die $y$-Achse bei $y=3$.
    $\begin{array}{rcl} 3&=&a\big(0-(-2)\big)^3\big(0-1\big)\\ 3&=&a\cdot(-8)\cdot(-1)\\ 3&=&8a\\ \frac38&=&a \end{array}$
    $f(x)=\frac38(x+2)^3(x-1)$