Fläche zwischen Kurven
Die Fläche zwischen zwei Funktionen ist gleich groß,
wie die Fläche der oberen Funktion minus die der unteren Funktion.
Die Fläche zwischen $f(x)$ und $g(x)$ ist das Gleiche,
wie $\int\limits_a^b f(x)\ dx - \int\limits_a^b g(x)\ dx$.
Beispiel:
wie die Fläche der oberen Funktion minus die der unteren Funktion.
Die Fläche zwischen $f(x)$ und $g(x)$ ist das Gleiche,
wie $\int\limits_a^b f(x)\ dx - \int\limits_a^b g(x)\ dx$.
Gesucht ist die Fläche zwischen $f(x)=\frac 1 2 x^2 + \frac 1 2$ und $g(x)=\frac 1 4 x^2 +\frac 1 4$.
Für $x$ gilt $0\leq x \leq 2$
Skizze:
$\int\limits_a^b f(x)-g(x)\;dx = \int\limits_a^b f(x)\, dx - \int\limits_a^b g(x)\, dx$
Für $x$ gilt $0\leq x \leq 2$
Skizze:
$\int\limits_a^b f(x)-g(x)\;dx = \int\limits_a^b f(x)\, dx - \int\limits_a^b g(x)\, dx$
Lösung:
Statt beide Integrale zu berechnen, lohnt es sich die Differenz in einem Integral zusammenzufassen.
Hierdurch wird der zu integrierende Term deutlich kleiner.
Hierdurch wird der zu integrierende Term deutlich kleiner.
$$\int\limits_0^2 f(x)\;dx - \int\limits_0^2 g(x)\;dx = \int\limits_0^2 f(x)-g(x)\;dx $$
Also:
$\int\limits_0^2 f(x)-g(x)\;dx $
$=\int\limits_0^2 \frac 1 2 x^2 + \frac 1 2 -\left( \frac 1 4 x^2 +\frac 1 4 \right) \;dx$
$=\int\limits_0^2 \frac 1 4 x^2 + \frac 1 4 \;dx $
$=\Big[ \frac1{12} x^3 + \frac14x +c \Big]_0^2 $
$=\frac1{12} 2^3 + \frac14 2 +c - (\frac1{12} 0^3 + \frac140+c)$
$=\frac76FE \approx 1{,}167 FE$
$=\int\limits_0^2 \frac 1 2 x^2 + \frac 1 2 -\left( \frac 1 4 x^2 +\frac 1 4 \right) \;dx$
$=\int\limits_0^2 \frac 1 4 x^2 + \frac 1 4 \;dx $
$=\Big[ \frac1{12} x^3 + \frac14x +c \Big]_0^2 $
$=\frac1{12} 2^3 + \frac14 2 +c - (\frac1{12} 0^3 + \frac140+c)$
$=\frac76FE \approx 1{,}167 FE$
Fläche und Integral
Das Integral $\int\limits_a^b f(x)-g(x)\;dx$ zwischen den zwei Funktionen $f(x)$ und $g(x)$ ist positiv,
wenn das Schaubild von $f(x)$ oberhalb von dem von $g(x)$ verläuft.
Es ist negativ wenn das Schaubild von $f(x)$ unterhalb von dem von $g(x)$ verläuft.
Wenn sich die beiden Funktionen $f(x)$ und $g(x)$ im Intervall $[a;\;b]$ schneiden,
dann hat $f(x)-g(x)$ eine Nullstelle.
Hier würde der Teil des Integrals vor der Nullstelle und der danach ein unterschiedliches Vorzeichen haben.
Will man also die Fläche, so muss zuerst die Schnittstellen von $f(x)$ und $g(x)$ bestimmen
und von Schnittstelle zu Schnittstelle integrieren.
wenn das Schaubild von $f(x)$ oberhalb von dem von $g(x)$ verläuft.
Es ist negativ wenn das Schaubild von $f(x)$ unterhalb von dem von $g(x)$ verläuft.
Wenn sich die beiden Funktionen $f(x)$ und $g(x)$ im Intervall $[a;\;b]$ schneiden,
dann hat $f(x)-g(x)$ eine Nullstelle.
Hier würde der Teil des Integrals vor der Nullstelle und der danach ein unterschiedliches Vorzeichen haben.
Will man also die Fläche, so muss zuerst die Schnittstellen von $f(x)$ und $g(x)$ bestimmen
und von Schnittstelle zu Schnittstelle integrieren.
Dies ist genau das Gleiche wie, beim bestimmten Integral einer Funktion und ihrer Nullstellen.
Denn man kann jedes Integral $\int\limits_a^b f(x)\;dx$ als Integral zwischen $f(x)$ und $g(x)=0$ ansehen:
$\int\limits_a^b f(x)\;dx = \int\limits_a^b f(x)-g(x)\;dx= \int\limits_a^b f(x)-0\;dx$
Die Nullstellen von $f(x)$ im bestimmten Integral haben somit die gleiche Bedeutung,
wie die Schnittstellen beim bestimmten Integral zwischen zwei Funktionen.
Denn man kann jedes Integral $\int\limits_a^b f(x)\;dx$ als Integral zwischen $f(x)$ und $g(x)=0$ ansehen:
$\int\limits_a^b f(x)\;dx = \int\limits_a^b f(x)-g(x)\;dx= \int\limits_a^b f(x)-0\;dx$
Die Nullstellen von $f(x)$ im bestimmten Integral haben somit die gleiche Bedeutung,
wie die Schnittstellen beim bestimmten Integral zwischen zwei Funktionen.