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Rotationsintegral

Rotiert man eine Funktion um die $x$-Achse, so erhält man einen Drehkörper.
Das Volumen kann man mittels Kreisscheiben ($V=\pi\cdot r^2\cdot h$) annähern.
Geht die Höhe $h$ der Scheiben gegen 0, so erhält man das Rotationsintegral: \[ V = \pi\int\limits_a^b \big(f(x)\big)^2\,dx \]
Beispiele:
  1. Eine Schüssel ist $7\,cm$ hoch. Das Profil der Schüssel lässt sich mittels $f(x)=2{,}75\sqrt x$ beschreiben.
    Der Boden hat einen Radius von $2{,}75\,cm$.
    Lösung:
    Bei $x=1$ gilt $f(1)2{,}75$, somit beginnt unser Integral bei 1 und endet bei $7+1=8$.
    $V=\pi\int\limits_1^8(2{,}75\sqrt x)^2\,dx = \pi\int\limits_1^8 7{,}5625\cdot x\, dx \\[2mm] \phantom{V}=\left[\pi 7{,}5625\cdot \frac 1 2\cdot x^2 +c \right]_1^8\\[2mm] \phantom{V}=% \pi\cdot 7{,}5625\cdot \frac 1 2\cdot 8^2 +c - \left(\pi\cdot 7{,}5625\cdot \frac12\cdot 1^2 +c\right)\\ \phantom{V}\approx 748{,}39\, V\!E$
  2. Ein Kegel ist $4\,cm$ hoch und hat einen Radius von $2\,cm$.
    Der Radius muss also auf eine Strecke von 4 von 0 auf 2 steigen.
    Dies erreicht man mit der Geraden $g(x)=\frac12x$.
    1 durch 2 mal x um die x-Achse rotiert ergibt den Kegel
    $g(x)=\frac12 x$ ergibt durch Rotation den Kegel
    Das Volumen ist somit $V=\pi\int\limits_0^2\left(\frac12\right)^2\,dx$ $=\frac\pi 4\left[\frac 1 3x^3\right]_0^4$ $=\frac{16\pi}{3}$
  3. Eine Sektflöte hat im Querschnitt die Form von $f(x)=\sqrt x$ mit $x\in\mathbb{R}_+$ in $cm$.
    Rotiert man $f$ um die $x$-Achse erhält man das Volumen.
    In welcher Höhe (in $cm$) muss der Eichstrich für 0,1l angebracht werden?
    Ansatz: $V(u)=\pi\int\limits_0^u \sqrt{x}^2\,dx$
    $V(u)=\pi\int\limits_0^u\left(\sqrt x\right)^2\,dx$ $=\pi\int_0^ux\,dx$ $=\left.\frac\pi2\cdot x^2\right|_0^u$
    $V(u)=\frac\pi 2 u^2$
    $100\,ml=\frac \pi 2 u^2$
    $u_{1,2}=\sqrt{\frac{200}{\pi}}$
    $u_1=-7{,}98\,cm\notin \mathbb{D}$
    $u_2=\phantom{-{}}7{,}98\,cm$
    Der Strich muss bei $7{,}98\,cm$ angezeichnet werden.
    Sektflöte mit Eichring
    Sektflöte mit Eichring