Parameterform in Normalenform

Wir haben eine Ebene in Parameterform gegeben: $E:\ \vec x = \vec p + r\cdot \vec v_1 + s\cdot \vec v_2$
und wollen die Normalenform $E:\ (\vec x-\vec p)\cdot \vec n= 0$.

Den $\vec p$ können wir von der Parameterform in die Normalenform übernehmen.
Den Normalenvektor $\vec n$ berechnen wir über das Kreuzprodukt $\vec n = \vec v_1 \times \vec v_2$.

Normalenform in Parameterform

Wir haben eine Ebene in Normalenform $E:\ (\vec x-\vec p)\cdot \vec n= 0$ gegeben
und wollen die Parameterform $E:\ \vec x = \vec p + r\cdot \vec v_1 + s\cdot \vec v_2$

Hier geht man von der Normalen in die Koordinatenform und von dort in die Parameterform.
In der Koordinatenform nehmen wir ein $x_i$ als $r$ und ein weites $x_j$ als $s$.
Dies setzen wir in die Koordinatenform ein und lösen nach dem verbleibendem $x$ auf (welches ggf. vor $r$ und $s$ abhängt).

Beispiel:

Gegeben ist $E:\ \left(\vek{x_1}{x_2}{x_3}-\vek{1}{2}{3}\right)\cdot \vek{1}{1}{0} = 0$
Die zugehörige Koordinatenform:
$E:\ x_1+x_2+0x_3 = 3$

Wir setzten $x_2=r$ und $x_3=s$.
Eingesetzt in $E$:
$x_1+r+0s=3$
Nach $x_1$ aufgelöst:
$x_1=3-r$
Somit haben wir die 3 Gleichungen:
$\begin{array}{rccl} x_1&=&3-r &= 3-r\cdot 1+s\cdot 0\\ x_2&=&r &= 0+r\cdot 1+s\cdot 0 \\ x_3&=&s &= 0+r\cdot 0+s\cdot 1 \\ \end{array}$
Zu Vektoren zusammenfassen:

$\vec x = \vek300+r\vek{-1}10+s\vek001$
Feststellen, dass wir fertig sind.