Matizen invertieren
Hat man eine Matrix $A$ und einen Vektor $\vec v$, so
ergibt $A\vec v=\vec r$ z.B. den Rohstoffbedarf für $\vec v$ viele
Produkte.
Fragt man sich aber, wie viele Produkte $\vec v$ man aus $\vec r$ vielen
Rohstoffen herstellen kann, muss man die Gleichung: $A\vec v = \vec r$
umstellen.
Man benötigt eine Matrix mit der $A$ auf die andere Seite "wandert".
Angenommen es gibt eine Matrix $B$, so dass $BA=E$ ist:
$\begin{array}{r@{\,=\,}l}
A\vec v & \vec r\\
BA\vec v& B\vec r\\
E\vec v & B\vec r\\
v & B\vec r\\
\end{array}
$
Eine solche Matrix wird
inverse Matrix genannt und mit $A^{-1}$ benannt.
Es gilt:
- $A\cdot A^{-1} = E$
- $A^{-1}\cdot A = E$
Inverse Matrix berechnen
Da $A\cdot A^{-1} = E$ gilt muss das LGS $(A|E)$ gelöst werden.
Bsp:
Gegeben: $A=\m{1&3\\2&1}$
Gesucht: $A^{-1}$
Ansatz: Löse $AA^{-1}=E \ra (A|E)$
$
\left(\begin{array}{cc|rr}
1&3&1&0\\
2&1&0&1
\end{array}\right)
\sim$
$\left(\begin{array}{cc|rr}
1&3&1&0\\
0&-5&-2&1
\end{array}\right)
\sim$
$\left(\begin{array}{cc|rr}
1&3&1&0\\
0&1&0{,}4&-0{,}2
\end{array}\right)
\sim$
$\left(\begin{array}{cc|rr}
1&0&-0{,}2&0{,}6\\
0&1&0{,}4&-0{,}2
\end{array}\right)
$
Das heißt
$A^{-1}=
\m{
-0{,}2&0{,}6\\
0{,}4&-0{,}2
}
$
Probe: $AA^{-1}= \m{1&3\\2&1}\m{-0{,}2&0{,}6\\0{,}4&-0{,}2}=\m{1&0\\0&1}
$
Merke:
- Nur quadratische Matrizen können Inverse haben
- $A^{-1}$ existiert nur, wenn $A_{nn}$ den Rang $n$ hat