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Einfache Matrixgleichungen

Matrixgleichungen löst man durch "normale" Äquivalenzumformungen.
Der Einzige Unterschied ist, dass man bei Multiplikation zwischen
Rechts- und Linksmultiplikation unterscheiden muss,
da $A\cdot B \neq B\cdot A$ gilt.
Teilen erfolgt durch Multiplikation mit der Inversen $A^{-1}$ (je nach Fall von rechts bzw. von links).
Beispiel
Gegeben: $A=\m{4&5\\1&1}$, $B=\m{2&2\\3&4}$ und $A^{-1}=\m{-1&5\\1&-4}$
  1. Gleichung: $A\cdot X=B$
    Gesucht: die Matrix $X$
    $\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\qquad}l} A\cdot X & B & |\cdot A^{-1} \text{ von links}\\ A^{-1}A\cdot X & A^{-1}B & |\cdot A^{-1}A=E \\ E\cdot X & A^{-1}B & |\cdot EX=X \\ X & A^{-1}B & \end{array}$
    $X$ berechnen:
    $X=\m{-1&5\\1&-4}\m{2&2\\3&4}= \m{13&18\\-10&-14}$

    Probe: $AX=\m{4&5\\1&1}\m{13&18\\-10&-14}=\m{2&2\\3&4}=B$
  2. Gleichung: $X\cdot A=B$
    $\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\qquad}l} X\cdot A & B & |\cdot A^{-1} \text{ von rechts}\\ X\cdot A\cdot A^{-1} & BA^{-1} & |\cdot AA^{-1}=E \\ X\cdot E & BA^{-1} & |\cdot XE=X \\ X & BA^{-1} & \end{array}$

    $X$ berechnen: $X=\m{2&2\\3&4}\m{-1&5\\1&-4}= \m{0&2\\1&-1}$

    Probe: $XA=\m{0&2\\1&-1}\m{4&5\\1&1} =\m{2&2\\3&4}=B$
  3. Gegeben: $AX=XA$
    $\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\qquad}l} AX & XA & |\cdot A^{-1} \text{ von links}\\ A^{-1}AX & A^{-1}XA & |\cdot A^{-1}A=E \\ EX & A^{-1}XA & |\cdot A^{-1} EX=X\\ X & A^{-1}XA & |\cdot A^{-1} \text{ von rechts}\\ XA^{-1} & A^{-1}XAA^{-1} & \\ XA^{-1} & A^{-1}XE & \\ XA^{-1} & A^{-1}X & \\ \end{array}$

    Wir drehen uns im Kreis!
    Merke: $AX=XA$ ist nicht (einfach) lösbar!
    Eine Lösung wäre $A^{-1}$, falls sie existiert,
    eine weitere wäre $O$, je nach $A$ kann es weitere geben.
  4. $XA-A=2X$

    $\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\qquad}l} XA-A & X & | +A \ |-X\\ XA-X & A & |\ X \text{ ausklammern mit } E\text{ als 1}\\ XA-XE & A & \\ X(A-E) & A & | \cdot (A-E)^{-1} \\ X & A\cdot (A-E)^{-1}& \end{array}$

    Nur lösbar, wenn die Inverse $(A-E)^{-1}$ existiert.
  5. $A\vec x-\vec x = \vec c$ Gesucht ist $\vec x$

    $\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\qquad}l} A\vec x-\vec x & \vec c & |\ E\text{ als Hilfsmatrix}\\ A\vec x-E\vec x & \vec c & |\ \vec x\text{ ausklammern}\\ (A-E)\vec x & \vec c & |\ (A-E)^{-1}\cdot \text{ von links}\\ (A-E)^{-1}(A-E)\vec x & (A-E)^{-1}\vec c &|\ (A-E)^{-1}(A-E)=E\\ E\vec x & (A-E)^{-1}\vec c &|\ E\vec x=\vec x\\ \vec x & (A-E)^{-1}\vec c &\\ \end{array}$

    Nur lösbar, wenn $(A-E)^{-1}$ existiert.