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Matrixmultiplikation

Wiederholung:
Eine Matrix mal einen Vektor kann man berechnen:
$\m{5&2&3\\0&7&1}\m{3\\2\\1}=\m{21\\15}$
Damit das klappt muss die erste Matrix so viele Spalten haben wie der Vektor Zeilen.
$A_{n,m}\vec b_{m,1} = \vec e_{n,1}$ im Beispiel oben: $A_{2,3}\vec b_{3,1}=\vec e_{2,1}$.
Wenn man zwei Matrizen $A, B$ multipliziert, dann multipliziert man $A$ mit jedem Spaltenvektor in $B$.
Hier muss $A$ so viele Spalten haben wie $B$ Zeilen.
Beispiel:
  1. $A=\m{1&1\\3&1}$ und $B=\m{2&0\\3&1}$

    $A\cdot B = \m{1&1\\3&1}\m{2&0\\3&1}= \m{1\cdot5+1\cdot9 & 1\cdot0+1\cdot1\\ 3\cdot2+1\cdot3 & 3\cdot0+1\cdot1 }=\m{5 & 1 \\ 9 & 1}$

    $B\cdot A = \m{2&0\\3&1}\m{1&1\\3&1}=\m{2+0&2+0\\3+3&3+1}=\m{2&2\\6&4}$

  2. $C=\m{1&1\\2&-1}$

    $D=\m{0&1&2\\3&0&-1}$

    $R=CD = \m{3&1&1\\-3&2&5}$

    Dimension: $R_{2,3}$, da $C_{2,2}$ und $D_{2,3}$
    $D\cdot C$ kann man nicht berechnen.
Die Einheitsmatrix:
$E=\m{ 1&0&\ldots&0 \\ 0&1&\ldots&0 \\ \vdots&\vdots &\ddots&\vdots\\ 0&0&\ldots&1 \\ }$
ist das neutrale Element der Matrix-Multiplikation.
Regeln:
  1. $A\cdot B \neq B\cdot A$ in den meisten Fällen
  2. $A\cdot E = E\cdot A = A$ für die Einheitsmatrix $E$
  3. $A\cdot O = O$ für die Nullmatrix $O$
  4. $(A\cdot B)\cdot C = A\cdot (B\cdot C)$ (Assoziativität)
  5. $(A+B)\cdot C = A\cdot C + B\cdot C$ (Distributivität)
  6. $C\cdot(A+B) = C\cdot A + C\cdot B$ (Distributivität)
  7. $k(AB)=(kA)B=A(kB)=(AB)k$
    Bei Skalaren (Zahlen) ist die Reihenfolge egal

Matrixpotenz

Multipliziert man eine quadratische Matrix $A$ mit sich selbst, so nennt man dies eine Matrixpotenz:
  • $A^2=A\cdot A$
  • $A^3=A\cdot A\cdot A$