< Variationen
Kombination >

Permutation (ohne Zurücklegen mit Reihenfolge = oZmR)

Wie viele Möglichkeiten hat man $n$ unterschiedliche Elemente anzuordnen?
0 Elemente: 1
1 Element: 1 $a$
2 Elemente: 2 $ab, ba$
3 Elemente: 6 $abc, acb, bac, bca, cab, cba$
Überlegung:
Wir haben 3 Elemente,
für die erste Position haben wir 3 Möglichkeiten,
für die zweite haben wir 2,
für die dritte haben wir eine.
So erhält man: $3\cdot 2\cdot 1$
Bei 4 hat man: $4\cdot 3\cdot 2\cdot 1$
Bei $n$ hat man: $n\cdot (n-1)\cdot (n-2) \cdots 3\cdot 2\cdot 1$
Die Funktion $n!$ nennt man Fakultät,
mit $n! = 1\cdot 2\cdots n$.
Es gilt $0!=1$ und $1!=1$
Beispiele:
  1. 11 Fußballer laufen auf das Spielfeld.
    Wie viele Möglichkeiten haben sie für die Reihenfolge?
    Antwort: $11! = 39\,916\,800$
  2. Sie müssen 4 Aufgaben lösen. Wie viele Reihenfolgen sind möglich?
    Antwort: $4! = 24$
  3. Im Lotto werden 6 Zahlen gezogen.
    In wie vielen Reihenfolgen können Ihre Zahlen gezogen werden?
    Antwort: $6! = 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1 = 720$
  4. 8 Karten einer Farbe werden gemischt.
    Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Karten aufsteigend sortiert sind?
    Antwort: $\frac{1}{8!}=\frac{1}{40\,320}=0{,}0000248=0{,}00248\%$
  5. Man zieht $3$ Kugeln aus $5$ unterschiedlichen Kugeln ohne Zurücklegen.
    Wie viel Möglichkeiten gibt es die gleichen $3$ Kugeln zu ziehen?
    Antwort: $3!=6$
    Wie viele Möglichkeiten gibt es insgesamt?
    Antwort: $5\cdot 4\cdot 3= 60 = \frac{5!}{(5-3)!}$
    Allg.: $k$ aus $n$ ohne Zurücklegen mit Reihenfolge:
    Antwort: $\dfrac{n!}{(n-k)!}=n\cdot (n-1)\cdots (n-k+1)$
  6. 5 SuS einer Klasse mit 25 SuS werden nacheinander ausgewählt.
    Wie viel Möglichkeiten gibt es?
    Antwort: $25\cdot 24\cdot 23\cdot 22\cdot 21=\frac{25!}{(25-5)!}=\frac{25!}{20!}=6\,375\,600$
    Ist die Reihenfolge der 5 SuS irrelevant:
    Antwort: $6\,375\,600:(5!)= 53\,130$